動態規劃框架

動態規劃：Dynamic Programming

動態規劃問題的一般形式就是求最值 -> 窮舉

動態規劃的窮舉特點在於這類問題存在重疊子問題，如果暴力窮舉，效率極其低下。所以一般通過備忘錄或者DP table用空間來優化窮舉的過程，避免不必要的計算。

動態規劃三要素：重疊子問題、最優子結構、狀態轉移方程

重疊子問題：
最優子結構：
狀態轉移方程：窮舉的方式

思維框架：
明確base case -> 明確[狀態] -> 明確[選擇] -> 定義dp陣列、函式的含義

程式碼框架：

# 初始化 base case
dp[0][0][...] = base
# 進行狀態轉移
for 狀態1 in 狀態1的所有取值：
    for 狀態2 in 狀態2的所有取值：
        for ...
            dp[狀態1][狀態2][...] = 求最值(選擇1，選擇2...)
 

下面以例子方式詳解動態規劃的基本原理

斐波那契數列問題

509.斐波那契數
斐波那契數，通常用 F(n) 表示，形成的序列稱為斐波那契數列。該數列由 0 和 1 開始，後面的每一項數字都是前面兩項數字的和。也就是：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
給定 N，計算 F(N)。

示例 1：

輸入：2
輸出：1
解釋：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.
示例 2：

輸入：3
輸出：2
解釋：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2.
示例 3：

輸入：4
輸出：3
解釋：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3.

提示：

0 ≤ N ≤ 30

由題意可以推到出一下遞推公式：

方法一：暴力遞迴

//方法一：遞迴
int fib(int n)
{
    // base case
    if (n == 0 || n == 1)
    {
        return 1;
    }
    return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

方法二：遞迴 + 備忘錄(自頂向下)

//方法二：遞迴 + 備忘錄（自頂向下）
int helper(int *rec_table, int n)
{
    if (n == 0 || n == 1)
    {
        return n;
    }
    if (rec_table[n] != 0)
    {
        return rec_table[n];
    }
    rec_table[n] = helper(rec_table, n - 1) + helper(rec_table, n - 2);
    return rec_table[n];
}
int fib(int n)
{
    if (n == 0 || n == 1)
    {
        return n;
    }
    int *rec_table = (int *)malloc((n + 1) * sizeof(int));
    memset(rec_table, 0, (n + 1) * sizeof(int));
    rec_table[0] = 0;
    rec_table[1] = 1;
    return helper(rec_table, n);
}
 

方法三：動態規劃 + dp陣列

// 方法三：動態規劃，陣列/滾動變數
int fib(int n)
{
    if (n == 0 || n == 1)
    {
        return n;
    }
    int *dp = (int *)malloc((n + 1) * sizeof(int));
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}