水題挑戰3: NOIP 2017 寶藏
參與考古挖掘的小明得到了一份藏寶圖,藏寶圖上標出了 \(n\) 個深埋在地下的寶藏屋, 也給出了這 \(n\) 個寶藏屋之間可供開發的 \(m\) 條道路和它們的長度。
小明決心親自前往挖掘所有寶藏屋中的寶藏。但是,每個寶藏屋距離地面都很遠, 也就是說,從地面打通一條到某個寶藏屋的道路是很困難的,而開發寶藏屋之間的道路 則相對容易很多。
小明的決心感動了考古挖掘的贊助商,贊助商決定免費贊助他打通一條從地面到某 個寶藏屋的通道,通往哪個寶藏屋則由小明來決定。
在此基礎上,小明還需要考慮如何開鑿寶藏屋之間的道路。已經開鑿出的道路可以 任意通行不消耗代價。每開鑿出一條新道路,小明就會與考古隊一起挖掘出由該條道路 所能到達的寶藏屋的寶藏。另外,小明不想開發無用道路,即兩個已經被挖掘過的寶藏 屋之間的道路無需再開發。
新開發一條道路的代價是:
\(\mathrm{L} \times \mathrm{K}\)
\(L\)代表這條道路的長度,\(K\)代表從贊助商幫你打通的寶藏屋到這條道路起點的寶藏屋所經過的 寶藏屋的數量(包括贊助商幫你打通的寶藏屋和這條道路起點的寶藏屋) 。
請你編寫程式為小明選定由贊助商打通的寶藏屋和之後開鑿的道路,使得工程總代 價最小,並輸出這個最小值。
輸入格式
第一行兩個用空格分離的正整數 \(n,m\),代表寶藏屋的個數和道路數。
接下來 \(m\) 行,每行三個用空格分離的正整數,分別是由一條道路連線的兩個寶藏 屋的編號(編號為 \(1-n\)),和這條道路的長度 \(v\)。
輸出格式
一個正整數,表示最小的總代價。
【資料規模與約定】
對於 \(\%20\)的資料: 保證輸入是一棵樹,\(1 \le n \le 8\),\(v \le 5000\) 且所有的 \(v\) 都相等。
對於 \(\%40\)的資料: \(1 \le n \le 8\),\(0 \le m \le 1000\),\(v \le 5000\) 且所有的 \(v\)都相等。
對於 \(\%70\)的資料: \(1 \le n \le 8\),\(0 \le m \le 1000\),\(v \le 5000\)
對於 \(\%100%\)的資料: \(1 \le n \le 12\),\(0 \le m \le 1000\),\(v \le 500000\)
SOLUTION
好吧其實這題還是有點難的,蒟蒻我當時還是在考場上拿到這題一臉懵逼。
看到這題的規模,\(n \le 12\),一般就會有幾種想法:爆搜,狀壓(還有大佬寫的模擬退火。。。是本弱弱不會的了) 。
由題意可得,我們求完之後會是一棵樹,圖上找一棵樹。
首先,我們想到某一個點\(i\) 作為這個圖中樹的根,對於其他點,我們關心其他點到起點的距離。
對於第一部分分,我們只需要對每一個根做一次樹形DP即可。
之後變成了一個圖,我們考慮狀態壓縮。
我們記 \(f[S][i]\) , 表示我們對於狀態為 \(S\) 的點集,最深層數為 \(i\) 。
然後我們可以稍微思考一下,對於點集 \(S\) ,他可以由自己的子點集 \(S1\) 轉移而來, ,於是,我們就有:
\(f[S][d] = min{f[S1][d-1] + (d-1) \times transfer[S1][S]}, S1\subset S\)
解釋一下,這個式子相當於就是把\(S1\) 中的點,向外擴充套件一層,擴充套件完點集為\(S\)。
\(transfer[S1][S]\) 表示從 \(S1\)到 \(S\) 的最小价值。
我們考慮S中點\(i\), 不在\(S1\) 中, 那麼從\(i\) 轉移到\(S1\) 的最小价值為:
\(W[i][S1] = min(e[i][j]), j \in S1\)
但是事實上這個W陣列是不用寫出來的,一次次加上去就好了。
然後
\(transfer[S1][S] = \sigma W[i][S1] ,i\in S, i\notin S1\)
但是吧,不知道大家有沒有這個困惑
我們壓根沒考慮根節點!!
在我寫完時候也有點糾結(糾結了好久,寫完才想到)
其實我們考慮一個點
我不會畫畫(偷懶),引用了大佬的部落格GoldenPotato的OI世界
考慮這個圖裡,我們以圖中給的為根,如果我們統計k=1時候沒有加最右邊的一個點,到k=2的狀態時把這個點算進去,那不是距離根節點只有一個寶藏屋的邊要\(\times 2\)
顯然是不對的。
但是我們可以在其他點為根的狀態中,把這個點加進去,就一定會有最優的解。
所以我們的答案統計為: \(ans = min{f[i][(1<<n)-1], i \in [1,n]}\)
還有一個小技巧,就是列舉子集,
for(int s1=s; s1; s1=(s1-1)&s)
複雜度這樣就從\(n^2\times 4^n\) 降到 \(n^2 \times 3^n\)
於是乎,貼程式碼。
如果我哪裡有疏漏,歡迎大家指正~
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
template <class T> void g(T&t){T x,f=1;char ch;_(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch-48;_()x=x*10+ch-48;t=f*x;}
typedef long long ll;
const int N=14;
int n, m, inf, tr[1<<N][1<<N], e[N][N];ll f[N][1<<N];
int main(){
g(n), g(m);
memset(e, 63, sizeof(e)); inf = e[0][0];
rep(i,1,m){
int x, y, z; g(x), g(y), g(z);
e[x][y] = e[y][x] = min( e[x][y], z );
}
rep(s, 0, (1<<n)-1){
for(int s1=s; s1; s1=(s1-1)&s){
int tmp= s ^ s1;
bool flag=0;
rep(i, 1, n){
if( 1<<(i-1) & tmp ){
int tt= inf;
rep(j, 1, n){
if( 1<<(j-1) & s1){
tt= min( tt, e[i][j] );
}
}
if( tt == inf ){
flag = 1;
break;
}
tr[s1][s] += tt;
}
}
if( flag ){
tr[s1][s] = inf;
}
}
}
memset(f, 63, sizeof(f));
ll ans=f[0][0];
rep(i, 1, n) f[1][1<<(i-1)] = 0;
rep(i, 2, n){
rep( s, 0, (1<<n)-1 )
for(int s1=s; s1; s1=(s1-1) & s ){
if(tr[s1][s]!=inf)
f[i][s]=min(f[i][s], f[i-1][s1] + tr[s1][s]*(i-1) );
}
}
rep(i, 1, n) ans=min(ans, f[i][(1<<n)-1]);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}