【清北學堂國慶刷題班】 Day3

阿新 • • 發佈：2020-11-02

【清北學堂國慶刷題班】 Day3

T1 歡樂

【問題描述】

你是能看到第一題的friends呢。

——hja

眾所周知，小蔥同學擅長計算，尤其擅長計算組合數，但這個題和組合數沒什麼關係。

給定N，求一個K，使得$K!\ge \frac {N!} {K!}$並且K儘量小。

【輸入格式】

一行一個整數N。

【輸出格式】

一行一個整數代表答案。

【樣例輸入】

【樣例輸出】

【資料規模與約定】

對於30%的資料，$N\le 10$

對於60%的資料，$N\le 100$

對於80%的資料，$N\le 1000$

對於100%的資料，$3\le N \le 10^6$

思路

取對數

看到這道題目，我第一感覺是來模擬！PS:模擬多爽啊。

結果發現，這大於多少以上的寫不出來了，程式立刻就炸了，時間分分鐘超過了，整個人都崩了！

所以就有了三十分的程式碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath> 
using namespace std;
long long n;
unsigned long long a[100];
int main()
{
	cin>>n;
	if(n==20)
	{
		cout<<13<<endl;
		return 0;
	}
	if(n>=21&&n<=22)
	{
		cout<<14<<endl;
		return 0;
	}
	if(n>=23&&n<=24)
	{
		cout<<15<<endl;
		return 0;
	}
	if(n>=25)
	{
		cout<<13+ceil((n-19)/2)<<endl;
		return 0;
	}
	a[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	a[i]=a[i-1]*i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	if(a[i]*a[i]>=a[n])
	{
		cout<<i<<endl;
		return 0;
	}
	return 0;
}

這是一份非常模擬的程式碼，而且有一些是自己找的規律，我就想當然地寫了上去，但是很不幸，還是隻有這麼一點分。我便陷入了沉思。

等到老師講的時候，才發現。世界如此簡單。

取一個對數不就可以了嗎？為什麼可以取對數呢？

（鄭重其事的說）原因有三，首先這個階乘有一個神奇的特點，就是越到後面，位數就越是不一樣，這樣我們就可以取一個對數，直接計算它的位數，然後對於這個位數直接進行計算，我們就可以取得正確答案了。其次，我們對於乘法，如果大於十位的話，實際上兩個數相乘，總的位數大概？就是兩個數的位數之和－１，所以我們就可以算對數來解決。最後一點原因就是，就是，我也不知道，應該也就兩點原因吧。

然後這個除法怎麼辦了，難不成換成乘法嗎，而且我們取得是10的對數，所以我們可以使用高中一年級就學過的對數換底公式：

\[\forall a,c \in (0,1) \cup (1,+\infty),有 \log_a b=\frac {\log_c b}{\log_c a} \]

這樣就可以把乘除法轉化為加減法了，這樣世界就非常簡單了

程式碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int n;
long double a[1000005];//保留一下精度，否則會出問題
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	a[i]=a[i-1]+log10(i);//遞推每個數的階乘的對數
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(a[i]>=a[n]-a[i])//運用了對數換底公式
		{
			cout<<i<<endl;
			return 0;
		}
	}
}

T2 水題

【問題描述】

你是能看到第二題的friends呢。

——aoao

眾所周知，小蔥同學擅長計算，尤其擅長計算組合數，但這個題和組合數沒什麼關係。

現在有若干個任務，每個任務需要一定的執行時間，以及要求其依賴的所有任務執行完成後才能夠執行。你可以同時做多個任務，但是一個任務一旦開始就不能停下必須做完。如果當前有多個任務可以做，按照這些任務到來的時間作為第一關鍵字，任務的名字作為第二關鍵字選擇最小的任務執行。問執行完所有任務所需要的時間是多少。

【輸入格式】

一行一個字串。

對於每個任務，其格式為“任務名字:[依賴任務1,依賴任務2,……,依賴任務k]:執行時間”。不同任務與不同任務之間用分號分割。在輸入完所有任務之後，會用“/”隔開一個整數，該整數代表同一時間最多執行多少個任務。

【輸出格式】

一行一個整數代表答案。

【樣例輸入】

b:[a]:2;c:[a]:3;a:[]:1/2

【樣例輸出】

【資料規模與約定】

對於30%的資料，任務數量$\le 10$。

對於60%的資料，任務數量$\le 100$。

對於100%的資料，任務數量$\le 1000$，任務的名字長度小於等於50，所需要的執行時間不超過100，總依賴數量不超過200000。

思路

模擬題，先鴿一下，如果在2020.11.4之前還沒有看見這個更改的話，請從我的QQ2844938982告訴我，謝謝大家了

程式碼(std)

T3 模擬

【問題描述】

你是能看到第三題的friends呢。

——laekov

眾所周知，小蔥同學擅長計算，尤其擅長計算組合數，但這個題和組合數沒什麼關係。

給定N個長度不超過50的01字串，你可以將其不斷重複直到長度為50!。現在要求輸出從1∼50!中有多少個位置，在這個位置上所有字串1的個數加起來等於i。

【輸入格式】

第一行一個整數N代表字串個數。

接下來N行每行一個字串。

【輸出格式】

輸出N+1行，其中第i行代表1的個數為i−1的位置的個數對$10^9+7$取模之後的結果。

【樣例輸入】

【樣例輸出】

318608048

【資料規模與約定】

對於20%的資料，$N=1$。

對於40%的資料，$N\le 10 $。

對於另外20%的資料，所有字串長度均為質數。

對於另外20%的資料，所有字串長度小於等於10。

對於100%的資料，$1\le N \le 100$，我覺得原來的第三題太簡單了，所以臨時換了這個題。

思路

這道題是一道典型的分類討論，我們可以在考試中根據不同的資料點來給答案，也不失是一種好辦法

$N=1$

這樣只有一個字串，因此也就是說我們要統計0或1的個數，所以最終的答案就是第一個字串的0的個數a，1的個數b，以及字串的總長度x，是0的個數則為$a*\frac {50!} {x}$,同理，是1的個數則為$b*\frac {50!} {x}$,這樣就可以得到20%的分數了
字串的長度小於等於10

這種情況還是可以按照$N=1$的思路來寫的，因為我們可以求字串長度的最小公倍數，然後各自拓展到這個最小公倍數長度的字串，進行統計，接下來的就是和$N=1 $同理了
字串長度互質

我們可以討論得到，當兩個字串長度互質的時候，我們不關心這個字串長什麼樣子，因為每一位一定對應每一位，而且我們只需要知道每個字串有幾個0和幾個1，然後用類似於多項式乘法即可
其他

如果是其他情況的話，我們可以進行把不是互質的轉化為互質的，如

第一個字串長為4為1001，第二個字串長為6為010011。那我們就可以找到他們的最大公約數2，把這個分成長度為2的組合，如

10 01 10 01 10 01

01 00 11 01 00 11

這樣分完組之後我們可以發現對於一個長度的字串

10 01

01 00 11

可以將他們的首位取出，構成兩個新的字串

10

001

對這個進行統計，再將他們的下一位取出，再構成兩個新的字串，順理成章，我們就可以做出來其他的情況了。

程式碼

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define inc(a,b) {a+=b;if (a>=mo) a-=mo;}
const int maxn=1010;
const int mo=1000000007;
const int maxb=32*27*25*49;
const int prime[]={0,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,0};//提前定義質數
int n,num[maxb+10],res[maxn][12],resx[maxn][12],ans[maxn],l[maxn];
char s[maxn][maxn];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int a=1;a<=n;a++)
	{
		scanf("%s",s[a]+1);
		l[a]=strlen(s[a]+1);//讀取每一個字串的長度
	}
	for (int a=1;a<=n;a++)
		if (maxb%l[a]==0)
			for (int b=1,c=1;b<=maxb;b++,c++)
			{
				if (c>l[a]) c=1;
				if (s[a][c]=='1') num[b]++;
			}
	for (int a=1;a<=maxb;a++)
		inc(res[num[a]][a%12],1);
	for (int a=1;prime[a];a++)
	{
		int v=prime[a];
		memset(num,0,sizeof(num));
		for (int b=1;b<=n;b++)
			if (l[b]%v==0)
			{
				for (int c=1,d=1;c<=v*12;c++,d++)
				{
					if (d==l[b]+1) d=1;
					if (s[b][d]=='1') num[c]++; 
				}
			}
		memset(resx,0,sizeof(resx));
		for (int b=0;b<=n;b++)
			for (int c=1;c<=v*12;c++)
				inc(resx[b+num[c]][c%12],res[b][c%12]);
		for (int b=0;b<=n;b++)
			for (int c=0;c<12;c++)
				res[b][c]=resx[b][c];
	}
	for (int a=0;a<=n;a++)
	{
		for (int b=0;b<12;b++)
			inc(ans[a],res[a][b]);
		ans[a]%=mo;
	}
	int mul=1;
	for (int a=1;a<=50;a++)
	{
		if (a==32 || a==27 || a==25 || a==49) continue;
		bool able=true;
		for (int b=1;prime[b];b++)
			if (prime[b]==a) able=false;
		if (!able) continue;
		mul=1ll*mul*a%mo;
	}
	for (int a=0;a<=n;a++)
		printf("%d\n",(int)(1ll*ans[a]*mul%mo));

	return 0;
}

T4 賽

【問題描述】

你是能看到第四題的friends呢。

——laekov

眾所周知，小蔥同學擅長計算，尤其擅長計算組合數，但這個題和組合數沒什麼關係。

定義函式ff為計算序列V字的數量的函式。定義V字為$i<j<k,a_i>a_j,a_k>a_j$的三元組$(i,j,k)$，現在給定n個數$a_1,a_2……a_N$，求：

\[\sum_{l=1}^n \sum_{r=l}^{n}f(a_l,a_{l+1},…,a_r) \]

【輸入格式】

第一行一個整數N。

接下來一行N個整數。

【輸出格式】

一行一個整數代表答案對$10^9+7$取模之後的答案。

【樣例輸入】

2 3 1 4 5

【樣例輸出】

【資料範圍與規定】。

對於30%的資料，$N\le 20$。

對於60%的資料，$N\le 100$。

對於80%的資料, $N\le 1000$。

對於100%的資料,$1\le N\le 10^5,1\le a_i \le N$

思路

對於這一道題目來說，我還是想到了思路的，暴力。這個暴力不得了，一旦成功，我已經得了60分了，所以這道題部分分給的很足，但是對於想拿省一的人來說，必須要精益求精，因此，我將闡述這道題的思路，首先看一下我60分的程式碼：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
const int Mod=1e9+7;
long long n;
long long a[100005];
long long f(long long l,long long r)//解決問題的函式
{
	long long sol=0;
	for(int i=l;i<=r;i++)
	{
		for(int j=i;j<=r;j++)
		{
			for(int k=j;k<=r;k++)
			if(a[i]>a[j]&&a[k]>a[j])
			sol=(sol+1)%Mod;//簡單的列舉
		}
	}
	return sol;
}
int main()
{
	long long ans=0;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	cin>>a[i];
	for(int l=1;l<=n;l++)
	{
		for(int r=l;r<=n;r++)
		ans+=f(l,r)%Mod;//計算答案
	}
	cout<<ans%Mod<<endl;//輸出結果
	return 0;
}

因此，最後的四個點都載入失敗了，複雜度$O(n^5)$

接著我們改進一下

我們可以將題目轉化為問這個v字在多少個區間裡，當且僅當一個數對滿足$1\le l\le i 且 k\le r\le n$時，我們可以認為這個v字在這個區間，所以我們的答案就是

$ans+=i*(n-k+1)$，時間複雜度$O(n^3)$

八十分程式碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
const int Mod=1e9+7;
int n;
int a[100005];
long long ans;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=i;j<=n;j++)
		{
			for(int k=j;k<=n;k++)
			{
				if(a[i]>a[j]&&a[j]<a[k])
				ans=(ans+i*(n-k+1)%Mod)%Mod;
			}
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

現在我們已經優化到$O(n^3)$了，所以接下來我們該怎麼繼續優化呢，我們可以發現，只要統計一個數的左邊比他大的數x個，右邊比他大的數y個，就可以了，所以對於每個i列舉一個k，則最終有式子：

\[ans=\sum _{b=1}^n i_b*\sum_{c=1}^nk_c \]

這樣就可以分開來列舉，時間複雜度為$O(n^2)$，然後加一個值域線段樹或者值域樹狀陣列就可以得到$O(n\log n)$的複雜度了

程式碼

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
#define lb(x) ((x)&(-(x)))
const int maxn=100010;
int n,z[maxn];
long long y[maxn],pre[maxn],suf[maxn];
long long query(int p)
{
	long long ans=0;
	for (;p;p-=lb(p))
		ans+=y[p];
	return ans;
}
void modify(int p,int v)
{
	for (;p<=n;p+=lb(p))
		y[p]+=v;
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int a=1;a<=n;a++)
		scanf("%d",&z[a]);
	memset(y,0,sizeof(y));
	for (int a=1;a<=n;a++)
	{
		pre[a]=query(n)-query(z[a]);
		modify(z[a],a);
	}
	memset(y,0,sizeof(y));
	for (int a=n;a>=1;a--)
	{
		suf[a]=query(n)-query(z[a]);
		modify(z[a],n-a+1);
	}
	long long ans=0;
	for (int a=1;a<=n;a++)
		ans+=pre[a]*suf[a];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

總結

這套題目總體來說部分分給的很足，而且最重要的一點就是難度不是遞增的，因此以後我們在做題的時候不能一直幹一道題，而是先把題目看一遍，從簡單的入手才能得到更多的分數。這次的考點主要是：

數學變形，大模擬，部分分的分別解決，樹狀陣列||線段樹的運用以及不同角度的思考問題

【清北學堂國慶刷題班】 Day3

【清北學堂國慶刷題班】 Day3

T1 歡樂

【問題描述】

【輸入格式】

【輸出格式】

【樣例輸入】

【樣例輸出】

【資料規模與約定】

思路

程式碼

T2 水題

【問題描述】

【輸入格式】

【輸出格式】

【樣例輸入】

【樣例輸出】

【資料規模與約定】

思路

程式碼(std)

T3 模擬

【問題描述】

【輸入格式】

【輸出格式】

【樣例輸入】

【樣例輸出】

【資料規模與約定】

思路

程式碼

T4 賽

【問題描述】

【輸入格式】

【輸出格式】

【樣例輸入】

【樣例輸出】

【資料範圍與規定】。

思路

程式碼

總結

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