比賽連結：https://codeforces.com/contest/1445

A. Array Rearrangment

題意

給定兩個大小均為 \(n\) 的升序陣列 \(a\) 和 \(b\) ，判斷能否重排陣列 \(b\) 使得對任意 \(i\) 均滿足 \(a_i + b_i \le x\) 。

題解一

因為 \(a\) 為升序，所以將 \(b\) 按照降序排列判斷即可。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n, x;
        cin >> n >> x;
        vector<int> a(n);
        for (auto &x : a) cin >> x;
        vector<int> b(n);
        for (auto &x : b) cin >> x;
        sort(b.begin(), b.end(), greater<>());
        bool ok = true;
        for (int i = 0; i < n; i++) if (a[i] + b[i] > x) ok = false;
        cout << (ok ? "Yes" : "No") << "\n";
    }
    return 0;
}
 

題解二

若 \(a\) 不以升降序給出，則需要對 \(a\) 中的每個數在 \(b\) 中貪心查詢最匹配的數。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n, x;
        cin >> n >> x;
        vector<int> a(n);
        for (auto &x : a) cin >> x;
        multiset<int> st;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int x;
            cin >> x;
            st.insert(x);
        }
        for (const auto &i : a) {
            auto it = st.upper_bound(x - i);
            if (it != st.begin() and *prev(it) <= x - i) st.erase(prev(it));
        }
        cout << (st.size() == 0 ? "Yes" : "No") << "\n";
    }
    return 0;
}
 

B. Elimination

題意

決賽之前有兩場選拔賽，已知：

• 第一場選拔賽第 \(100\) 名的分數為 \(a\) ，第二場選拔賽所有人的分數都不少於 \(b\)
• 第二場選拔賽第 \(100\) 名的分數為 \(c\) ，第一場選拔賽所有人的分數都不少於 \(d\)

計算兩場選拔賽的總分至少要多少才能進入決賽。

題解

假如剛好有兩百人，那麼可以進行以下合理假設：

• 第一場前一百名分數為 \(a\) ，後一百名分數為 \(b\)
• 第二場前一百名分數為 \(c\) ，後一百名分數為 \(d\)
• 第二場的前一百名剛好為第一場的後一百名
• 第二場的後一百名剛好為第一場的前一百名

那麼答案即 \(max(a + b,\ c + d)\)

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int a, b, c, d;
        cin >> a >> b >> c >> d;
        cout << max(a + b, c + d) << "\n";
    }
    return 0;
}

C. Division

題意

給定兩個數 \(a\) 和 \(b\) ，計算滿足以下條件的 \(x\) 的最大值：

• \(x\) 是 \(a\) 的因子
• \(x\) 不是 \(b\) 的倍數

題解

最理想的 \(x\) 是 \(a\) 本身，此時如果 \(x\) 是 \(b\) 的倍數，那麼只要將 \(x\) 內的某一質因子降到 \(b\) 中的冪次以下即可。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        long long a, b;
        cin >> a >> b;
        vector<int> p;
        long long n = b;
        for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
            if (n % i == 0) {
                p.push_back(i);
                while (n % i == 0) n /= i;
            }
        }
        if (n > 1) p.push_back(n);
        long long ans = 1;
        for (auto i : p) {
            long long res = a;
            while (res % i == 0) res /= i;
            ans = max(ans, res);
        }
        cout << ans << "\n";
    }
    return 0;
}

D. Divide and Sum

題意

給定一個大小為 \(2n\) 的陣列，考慮將其拆分為兩個等長的子序列 \(p\) 和 \(q\) ，並將 \(p\) 以升序排列， \(q\) 以降序排列，同時定義 \(f(p, q) = \sum_{i = 1}^n |p_i - q_i|\) 。
計算所有可能子序列情況下的 \(f(p, q)\) 之和。

題解

不管怎麼分，都是大的一半減去小的一半，將和記為 \(sum\) ，答案即 \(C_{2n}^n \times sum\) 。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
constexpr int N = 1e6 + 100;
constexpr int MOD = 998244353;

int fac[N], inv[N];

int binpow(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = 1LL * res * a % MOD;
        a = 1LL * a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int C(int n, int m){
    if(m < 0 or m > n) return 0;
    return 1LL * fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
}

void Init(){
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % MOD;
    inv[N - 1] = binpow(fac[N - 1], MOD - 2);
    for (int i = N - 2; i >= 0; i--) inv[i] = 1LL * inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    Init();
    int n;
    cin >> n;
    n *= 2;
    vector<int> a(n);
    for (auto &x : a) cin >> x;
    sort(a.begin(), a.end());
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum += abs(a[i] - a[n - 1 - i]);
        sum %= MOD;
    }
    cout << C(n, n / 2) * sum % MOD << "\n";
    return 0;
}