二進位制的很多應用離不開集合這個概念，我們都知道在計算機當中，所有資料都是以二進位制的形式儲存的。一般一個int整形是4個位元組，也就是32位bit，我們通過這32位bit上0和1的組合可以表示多大21億個不同的數。如果我們把這32位bit看成是一個集合，那麼每一個數都應該對應集合的一種狀態，並且每個數的狀態都是不同的。

比如上圖當中，我們列舉了5個二進位制位，我們把其中兩個設定成了1，其餘的設定成了0。我們通過計算，可以得到6這個數字，那麼6也就代表了(00110)這個狀態。數字和狀態是一一對應的，因為每個整數轉化成二進位制都是唯一的。

也就是說一個整數可以轉化成二進位制數，它可以代表某個集合的一個狀態，這兩者一一對應。這一點非常重要，是後面一切推導的基礎。

狀態轉移

整數的二進位制表示可以代表一個二元集合的狀態，既然是狀態就可以轉移。在此基礎上，我們可以得出另一個非常重要的結論——我們可以用整數的加減表示狀態之間的轉移。

我們還用剛才的例子來舉例，上面的圖當中我們列舉了5個二進位制位，假設我們用這5個二進位制位表示5個小球，這些小球的編號分別是0到4。這樣一來，剛才的6可以認為表示拿取了1號和2號兩個小球的狀態。

如果這個時候我們又拿取了3號小球，那麼集合的狀態會發生變化，我們用一張圖來表示：

上圖當中粉絲的筆表示決策，比如我們拿取了3號球就是一個決策，在這個決策的影響下，集合的狀態發生了轉移。轉移之後的集合代表的數是14，它是由之前的集合6加上轉移帶來的變化，也就是得到的。剛好就代表拿取3號球這個決策，這樣我們就把整個過程串起來了。

總結一下，我們用二進位制的0和1表示一個二元集合的狀態。可以簡單認為某個物品存在或者不存在的狀態。由於二進位制的0和1可以轉化成一個int整數，也就是說我們用整數代表了一個集合的狀態。這樣一來，我們可以用整數的加減計算來代表集合狀態的變化。

這也就是狀態壓縮的精髓，所謂的壓縮，其實就是將一個集合壓縮成了一個整數的意思，因為整數可以作為陣列的下標，這樣操作會方便我們的編碼。

最短Hamilton路徑問題（也就是大名鼎鼎的旅行商問題）

給定一張n個點的帶權無向圖，點從 0~n-1 標號，求起點 0 到終點 n-1 的最短Hamilton路徑。 Hamilton路徑的定義是從 0 到 n-1 不重不漏地經過每個點恰好一次。

輸入格式

第一行輸入整數nn。

接下來nn行每行nn個整數，其中第ii行第jj個整數表示點ii到jj的距離（記為a[i,j]）。

對於任意的x,y,zx,y,z，資料保證 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 並且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

輸出格式

輸出一個整數，表示最短Hamilton路徑的長度。

資料範圍

1≤n≤201≤n≤20
0≤a[i,j]≤1070≤a[i,j]≤107

輸入樣例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

輸出樣例：

18

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int N=20,M=1<<N;
 8 long long int dp[M][N];
 9 int w[N][N];
10 int n;
11 
12 int main()
13 {
14     cin>>n;
15     
16     for(int i=0;i<n;i++)
17         for(int j=0;j<n;j++)
18             cin>>w[i][j];
19     
20     memset(dp,0x3f,sizeof dp);
21     dp[1][0]=0;
22     for(int i=0;i<(1<<n);i++)
23         for(int j=0;j<n;j++)
24             if(i>>j&1)
25                 for(int k=0;k<n;k++)
26                     if(i-(1<<j)>>k&1)
27                     dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-(1<<j)][k]+w[k][j]);
28                     
29     cout<<dp[(1<<n)-1][n-1];
30     
31     return 0;
32 }