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Description

給定 \(a,b,c\)，對於一個遞迴函式 \(w(a,b,c)\)

• \(a \le 0\ ||\ b \le 0\ ||\ c \le 0 \to return\ 1\).
• \(a>20\ ||\ b>20||\ c>20\to return\ w(20,20,20)\)
• \(a<b\) 且 \(b<c\) \(\to return\ w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c)\)
• \(return\ w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1)\)

Solution

讀一遍題，很輕鬆就能寫出以下程式碼 :

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll w(ll a,ll b,ll c){
	int f[30][30][30];
	memset(f,0,sizeof(0));
	if(a<=0||b<=0||c<=0) return 1;
	if(a>20||b>20||c>20) return w(20,20,20);
	if(a<b&&b<c) return w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c);
	return w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1);
}
int main(){
	ll a,b,c;
	while(scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&c)){
		if(a==-1&&b==-1&&c==-1) break;
		printf("w(%lld, %lld, %lld) = %lld\n",a,b,c,w(a,b,c));
	}
	return 0;
}
 

當然，這個程式碼會 TLE

題目中明確提到了這一點 :

當 \(a,b,c\) 均為 \(15\) 時，呼叫的次數將非常的多

並且也明確告訴我們了一種思路 :

記憶化搜尋

這裡我們用一個 \(f[a][b][c]\) 來記錄 \(a,b,c\) 三個數的 \(w\) 函式值是否有無被計算過。

• 如果計算過，直接 \(return\)

• 如果沒有計算過，按照條件把 \(w(a,b,c)\) 的值記錄在 \(f[a][b][c]\) 中

還有關於記憶化陣列 \(f\) 的大小問題

這裡一定要關注 Description 中的

\(a \le 0\ ||\ b \le 0\ ||\ c \le 0 \to return\ 1\)

.

\(a>20\ ||\ b>20||\ c>20\to return\ w(20,20,20)\)

這就意味著我們處理 \(a,b,c\) 時，當且僅當 \(a,b,c\) 均 \(\in (0,20]\)

故我們可以開一個大小為 \(21\) 的陣列（以示對出題人的尊敬）

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll f[21][21][21];
inline ll w(ll a,ll b,ll c){
	if(a<=0||b<=0||c<=0) return 1;
	if(a>20||b>20||c>20) return w(20,20,20);
	if(a<b&&b<c){
		if(f[a][b][c]==0){
			f[a][b][c]=w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c);
		}
	}
	else if(f[a][b][c]==0){
		f[a][b][c]=w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1);
	}
	return f[a][b][c];
}
int main(){
	ll a,b,c;
	while(scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&c)){
		if(a==-1&&b==-1&&c==-1) return 0;
		printf("w(%lld, %lld, %lld) = %lld\n",a,b,c,w(a,b,c));
	}
	return 0;
}