如何計算完全二叉樹的節點數
讀完本文,你可以去力扣拿下如下題目:
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如果讓你數一下一棵普通二叉樹有多少個節點,這很簡單,只要在二叉樹的遍歷框架上加一點程式碼就行了。
但是,如果給你一棵完全二叉樹,讓你計算它的節點個數,你會不會?演算法的時間複雜度是多少?這個演算法的時間複雜度應該是 O(logN*logN),如果你心中的演算法沒有達到高效,那麼本文就是給你寫的。
首先要明確一下兩個關於二叉樹的名詞「完全二叉樹」和「滿二叉樹」。
我們說的完全二叉樹如下圖,每一層都是緊湊靠左排列的:
我們說的滿二叉樹如下圖,是一種特殊的完全二叉樹,每層都是是滿的,像一個穩定的三角形:
說句題外話,關於這兩個定義,中文語境和英文語境似乎有點區別,我們說的完全二叉樹對應英文 Complete Binary Tree,沒有問題。但是我們說的滿二叉樹對應英文 Perfect Binary Tree,而英文中的 Full Binary Tree 是指一棵二叉樹的所有節點要麼沒有孩子節點,要麼有兩個孩子節點。如下:
以上定義出自 wikipedia,這裡就是順便一提,其實名詞叫什麼都無所謂,重要的是演算法操作。本文就按我們中文的語境,記住「滿二叉樹」和「完全二叉樹」的區別,等會會用到。
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一、思路分析
現在迴歸正題,如何求一棵完全二叉樹的節點個數呢?
// 輸入一棵完全二叉樹,返回節點總數
int countNodes(TreeNode root);
如果是一個普通二叉樹,顯然只要向下面這樣遍歷一邊即可,時間複雜度 O(N):
public int countNodes(TreeNode root) {
if (root == null) return 0;
return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}
那如果是一棵滿二叉樹,節點總數就和樹的高度呈指數關係:
public int countNodes(TreeNode root) { int h = 0; // 計算樹的高度 while (root != null) { root = root.left; h++; } // 節點總數就是 2^h - 1 return (int)Math.pow(2, h) - 1; }
完全二叉樹比普通二叉樹特殊,但又沒有滿二叉樹那麼特殊,計算它的節點總數,可以說是普通二叉樹和完全二叉樹的結合版,先看程式碼:
public int countNodes(TreeNode root) {
TreeNode l = root, r = root;
// 記錄左、右子樹的高度
int hl = 0, hr = 0;
while (l != null) {
l = l.left;
hl++;
}
while (r != null) {
r = r.right;
hr++;
}
// 如果左右子樹的高度相同,則是一棵滿二叉樹
if (hl == hr) {
return (int)Math.pow(2, hl) - 1;
}
// 如果左右高度不同,則按照普通二叉樹的邏輯計算
return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}
結合剛才針對滿二叉樹和普通二叉樹的演算法,上面這段程式碼應該不難理解,就是一個結合版,但是其中降低時間複雜度的技巧是非常微妙的。
二、複雜度分析
開頭說了,這個演算法的時間複雜度是 O(logN*logN),這是怎麼算出來的呢?
直覺感覺好像最壞情況下是 O(N*logN) 吧,因為之前的 while 需要 logN 的時間,最後要 O(N) 的時間向左右子樹遞迴:
return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
關鍵點在於,這兩個遞迴只有一個會真的遞迴下去,另一個一定會觸發 hl == hr
而立即返回,不會遞迴下去。
為什麼呢?原因如下:
一棵完全二叉樹的兩棵子樹,至少有一棵是滿二叉樹:
看圖就明顯了吧,由於完全二叉樹的性質,其子樹一定有一棵是滿的,所以一定會觸發 hl == hr
,只消耗 O(logN) 的複雜度而不會繼續遞迴。
綜上,演算法的遞迴深度就是樹的高度 O(logN),每次遞迴所花費的時間就是 while 迴圈,需要 O(logN),所以總體的時間複雜度是 O(logN*logN)。
所以說,「完全二叉樹」這個概念還是有它存在的原因的,不僅適用於陣列實現二叉堆,而且連計算節點總數這種看起來簡單的操作都有高效的演算法實現。
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