題目描述

  計算：

\[\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{m}(n\mod i)\times(m\mod j)(i\neq j) \]

  資料範圍：\(n,m\leq 10^9\)。

分析

\[\begin{aligned} &\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{m}(n\mod i)\times (m\mod j)(i\neq j)\\ =&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(n-\Big\lfloor\frac{n}{i}\Big\rfloor\times i)\times (m-\Big\lfloor\frac{m}{j}\Big\rfloor\times j)-\sum_{i=1}^{\min(n,m)}(n\times m+\Big\lfloor\frac{n}{i}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{m}{j}\Big\rfloor i^2-(m\Big\lfloor\frac{n}{i}\Big\rfloor+m\Big\lfloor\frac{m}{i}\Big\rfloor)i)\\ \end{aligned} \]

  其中 \(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor \left\lfloor\dfrac{m}{i} \right\rfloor i^2\) 部分需要用平方和公式進行計算，\(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}i^2=\frac{i(i+1)(2i+1)}{6}\)。

  套用公式的時候需要除法，不能先取模，但是不先取模會爆 \(\text{long long}\)。由於除的數是固定的 \(2\) 和 \(6\) ，可以直接把模數放大 \(6\) 倍，最後再模回去即可。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod=19940417*6;
long long sum1(long long x)
{
	return x*(x+1)%mod/2;
}
long long sum2(long long x)
{
	return x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod/6;
}
long long solve1(long long n)
{
	long long ans=n*n%mod;
	for(long long l=1,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=n/(n/l);
		ans=(ans-(n/l)%mod*(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod+mod)%mod;
	}
	return ans;
}
long long solve2(long long n,long long m)
{
	long long ans=n*m%mod*min(n,m)%mod;
	for(long long l=1,r;l<=n&&l<=m;l=r+1)
	{
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		ans=(ans-m*(n/l)%mod*(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod
				-n*(m/l)%mod*(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod
				+(n/l)*(m/l)%mod*(sum2(r)-sum2(l-1)+mod)%mod+2*mod)%mod;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	long long n,m;
	cin>>n>>m;
	cout<<(solve1(n)*solve1(m)%mod-solve2(n,m)+mod)%(mod/6)<<endl;
	return 0;
}