一、理論

常用的位運算：

X & 1 == 1 OR == 0 :判斷奇偶

X = X & (X - 1) : 清零最低位的1 （常用來求二進位制位有多少個1）

X & (1 << (n - 1)) ： 獲取 X 的第 n 位的冪值

二、典型例題

①：二進位制數中的位元位統計問題（LC191、劍指11.二進位制中1的個數）

思路：利用X = X & (X - 1) ，每次清零最低位的1.

②：判斷一個數是否是2的冪次方（LC231）

思路：一個數如果是2的冪次方，其二進位制位有如下特點：有且僅有一個1。

class Solution {
    public
 
 boolean isPowerOfTwo(int n) {
        return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0;
    }
}

③：位元位計數（LC338）

class Solution {
    public int[] countBits(int num) {
        // 方法1 和 方法2 是最優解，它們都是利用陣列前面已經算好的數來計算當前數的1的個數
        // 方法1：i & (i - 1) 可以清零最低位的1。
        int[] res = new int[num + 1];
        
 
for (int i = 1; i <= num; i++) {
            res[i] = res[i & (i - 1)] + 1;
        }
        return res;

        // 方法2：當i的最低位是1，i中1的個數是i>>1中1的個數再加1；如果i最低位是0，則加0
        /*int[] res = new int[num + 1];
        for (int i = 1; i <= num; i++) {
            res[i] = res[i >> 1] + (i & 1);
        }
        return res;
 
*/

        /* 方法3：遍歷1~num，呼叫函式計算每一個數的 1的個數。
        int[] res = new int[num + 1];
        for (int i = 1; i <= num; i++) {
            res[i] = numberOf1(i);
        }
        return res;
        */
    }
    /**
     * LeetCode 191
     */
    public int numberOf1(int n){
        int count = 0;
        while (n != 0){
            count++;
            n = n & (n - 1);
        }
        return count;
    }
}

☆☆☆☆④：N皇后問題的位運算解法（LC52）

不使用位運算（執行耗時:2 ms,擊敗了61.47% 的Java使用者），其解法見：【40講系列9】剪枝

使用位運算加速才是本題的最優解，（執行耗時:0 ms,擊敗了100.00% 的Java使用者）

class Solution {
    // 參考左神P240
    int res = 0;
    public int totalNQueens(int n) {
        if (n < 1 || n > 32) return 0;
        int upperLim = n == 32 ? -1 : (1 << n) - 1; // -1的二進位制表示為32位全為1
        help(upperLim,0,0,0);
        return res;
    }

    /**  help()：剩餘的皇后在之前皇后的影響下，有多少種合法的擺法。
     *
     * @param upperLim 表示當前行哪些位置可以放皇后，1代表可以，0代表不能. 在遞迴過程中始終不變
     * @param colLim   表示遞迴計算到上一行為止，在哪些列上已經放置了皇后，1代表已經放置，0代表沒有放置
     * @param leftDiaLim  表示遞迴計算到上一行為止，受已經放置的皇后的左下方斜線的影響，導致當前行不能放置的位置
     *                    1代表不能放置
     *                    leftDiaLim每次左移一位，就可以得到之前所有皇后的左下方斜線對當前行的影響。
     * @param rightDiaLim 表示遞迴計算到上一行為止，受已經放置的皇后的右下方斜線的影響，導致當前行不能放置的位置
     *                    1代表不能放置
     *                    rightDiaLim每次右移一位，就可以得到之前所有皇后的右下方斜線對當前行的影響。
     */
    private void help(int upperLim, int colLim, int leftDiaLim, int rightDiaLim){
        if (colLim == upperLim){
            res++;
            return;
        }
        int pos = 0; // 代表當前行在colLim、leftDiaLim、rightDiaLim的影響下，還有哪些位置是可選擇的。1代表可以選擇
        int mostRightOne = 0; // 代表在pos中，最右邊的1是在什麼位置。然後從右到左一次篩選出pos中可選擇的位置進行遞迴嘗試。
        pos = upperLim & (~(colLim | leftDiaLim | rightDiaLim));
        while (pos != 0){
            mostRightOne = pos & (~pos + 1);
            pos = pos - mostRightOne;
            help(upperLim,colLim | mostRightOne,
                    (leftDiaLim | mostRightOne) << 1,
                    (rightDiaLim | mostRightOne) >>> 1); // >>>無符號右移，忽略符號位，空位都以0補齊
        }
    }
}