Codeforces Round #686 (Div. 3)E. Number of Simple Paths

題意

給你n個點n條邊的圖，讓你求樹上的簡單路徑數。

簡單路徑：從a->b的方法，需要注意的是1->2>3,3->2->1算一種

思路

顯然建成後的圖是一棵樹多了一條邊，這種圖又叫環基樹。

從下圖開始分析該題：

我們假設這個環的每一個點都是一棵樹，我們建圖。

在每個以環上的點為根的樹上的任意兩個點只有\(C_n^2\)的取法

其他的任意兩個點間的取法都是有兩種路徑共計\(C_n^2 * 2\)。

我們先假設任意兩個點間都有兩種到達方法那麼，\(ans = C_n^2\)

然後我們再減去只有一種方法的路徑，即為所求。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
//#define int long long
const int maxn = 2e5 + 10;
int deg[maxn], bfs[maxn];
vector<int>edge[maxn];

int f[maxn], num[maxn];
void init(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        f[i] = i; num[i] = 1;
    }
}

int find(int x) {
    return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]);
}

bool Union(int x, int y) {
    int fx = find(x);
    int fy = find(y);
    if (fx == fy) return 0;
    if (num[fx] > num[fy]) swap(fx, fy);
    num[fy] += num[fx];
    f[fx] = fy;
    return 1;
}

bool is_root(int x) {
    return f[x] == x ? 1 : 0;
}

void solve() {
    int n; cin >> n;
    init(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        deg[i] = 0; edge[i].clear();
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int u, v; cin >> u >> v;
        edge[u].push_back(v);
        edge[v].push_back(u);
        ++deg[u]; ++deg[v];
    }
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (deg[i] == 1) {
            bfs[++cnt] = i;
            --deg[i];
        }
    for (int i = 1; i <= cnt; ++i) {
        int u = bfs[i];
        for (auto v : edge[u]) {
            --deg[v];
            Union(u, v);
            if (deg[v] == 1) {
                bfs[++cnt] = v;
            }
        }
    }
    LL ans = n * (n  - 1LL);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (is_root(i)) {
            ans -= num[i] * (num[i] - 1LL) / 2;
        }
    }
    cout << ans << endl;
}


signed main() {
    int T; cin >> T;
    while (T--) {
        solve();
    }
}