假設我們已經知道梯度法——最速下降法的原理。

現給出一個算例：

如果人工直接求解：

現給出Python求解過程：

import numpy as np
from sympy import *
import math
import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.axisartist as axisartist

# 定義符號
x1,x2,t = symbols('x1,t')

def func():
 # 自定義一個函式
 return pow(x1,2) + 2 * pow(x2,2) - 2 * x1 * x2 - 2 * x2

def grad(data):
 # 求梯度向量,data=[data1,data2]
 f = func()
 grad_vec = [diff(f,x1),diff(f,x2)] # 求偏導數,梯度向量
 grad = []
 for item in grad_vec:
  grad.append(item.subs(x1,data[0]).subs(x2,data[1]))
 return grad

def grad_len(grad):
 # 梯度向量的模長
 vec_len = math.sqrt(pow(grad[0],2) + pow(grad[1],2))
 return vec_len

def zhudian(f):
 # 求得min(t)的駐點
 t_diff = diff(f)
 t_min = solve(t_diff)
 return t_min

def main(X0,theta):
 f = func()
 grad_vec = grad(X0)
 grad_length = grad_len(grad_vec) # 梯度向量的模長
 k = 0
 data_x = [0]
 data_y = [0]
 while grad_length > theta: # 迭代的終止條件
  k += 1
  p = -np.array(grad_vec)
  # 迭代
  X = np.array(X0) + t*p
  t_func = f.subs(x1,X[0]).subs(x2,X[1])
  t_min = zhudian(t_func)
  X0 = np.array(X0) + t_min*p
  grad_vec = grad(X0)
  grad_length = grad_len(grad_vec)
  print('grad_length',grad_length)
  print('座標',X0[0],X0[1])
  data_x.append(X0[0])
  data_y.append(X0[1])

 print(k)

 # 繪圖
 fig = plt.figure()
 ax = axisartist.Subplot(fig,111)
 fig.add_axes(ax)
 ax.axis["bottom"].set_axisline_style("-|>",size=1.5)
 ax.axis["left"].set_axisline_style("->",size=1.5)
 ax.axis["top"].set_visible(False)
 ax.axis["right"].set_visible(False)
 plt.title(r'$Gradient \ method - steepest \ descent \ method$')
 plt.plot(data_x,data_y,label=r'$f(x_1,x_2)=x_1^2+2 \cdot x_2^2-2 \cdot x_1 \cdot x_2-2 \cdot x_2$')
 plt.legend()
 plt.scatter(1,1,marker=(5,1),c=5,s=1000)
 plt.grid()
 plt.xlabel(r'$x_1$',fontsize=20)
 plt.ylabel(r'$x_2$',fontsize=20)
 plt.show()

if __name__ == '__main__':
 # 給定初始迭代點和閾值
 main([0,0],0.00001)

最終結果圖如下所示：

以上就是本文的全部內容，希望對大家的學習有所幫助，也希望大家多多支援我們。