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迪傑斯特拉（Dijkstra）演算法主要是針對沒有負值的有向圖，求解其中的單一起點到其他頂點的最短路徑演算法。

1 演算法原理

迪傑斯特拉（Dijkstra）演算法是一個按照路徑長度遞增的次序產生的最短路徑演算法。下圖為帶權值的有向圖，作為程式中的實驗資料。

其中，帶權值的有向圖採用鄰接矩陣graph來進行儲存，在計算中就是採用n*n的二維陣列來進行儲存，v0-v5表示陣列的索引編號0-5，二維陣列的值表示節點之間的權值，若兩個節點不能通行，比如，v0->v1不能通行，那麼graph[0,1]=+∞ （採用計算機中最大正整數來進行表示）。那如何求解從v0每個v節點的最短路徑長度呢?

首先，引進一個輔助陣列cost，它的每個值cost[i]表示當前所找到的從起始點v0到終點vi的最短路徑的權值（長度花費），該陣列的初態為：若從v0到vi有弧，則cost[i]為弧上的權值，否則置cost[i]為+∞。

顯然，長度為：cost[j]=Min_i(graph[0,i] | v_i in V)的路徑就是從v0出發的長度最短的一條最短路徑。此路徑為(v_0,v_j) ，那麼下次長度次短的路徑必定是弧(v_0,v_i)上的權值cost[i](v_i in V)，或者是cost[k](v_k in S)和弧(v_k,v_i)的權值之和。其中V：待求解最短路徑的節點j集合；S：已求解最短路徑的節點集合。

2 演算法流程

根據上面的演算法原理分析，下面描述演算法的實現流程。

初始化：初始化輔助陣列cost，從v0出發到圖上其餘節點v的初始權值為：cost[i]=graph[0,i] | v_i in V ；初始化待求節點S集合，它的初始狀態為始點，V集合，全部節點-始節點。

選擇節點v_j ，使得cost[j]=Min ( cost[i] | v_i in V -S ) ，v_j 就是當前求的一條從v0出發的最短路徑的終點，修改S集合，使得 S=S + V_j ，修改集合V = V - V_j。

修改從v0出發到節點V-S上任一頂點 v_k 可達的最短路徑，若cost[j]+graph[j,k]<cost[k] ，則修改cost[k]為：cost[k]=cost[j]+graph[j,k] 。

重複操作2，3步驟，直到求解集合V中的所有節點為止。

其中最短路徑的儲存採用一個path整數陣列，path[i]的值記錄vi的前一個節點的索引，通過path一直追溯到起點，就可以找到從vi到起始節點的最短路徑。比如起始節點索引為0，若path[3]=4, path[4]=0；那麼節點v2的最短路徑為，v0->v4->v3。

3 演算法實現

採用python語言對第2節中的演算法流程進行實現，關鍵程式碼如下。

3.1 最短路徑程式碼

#!/bin/python
# -*- coding:utf-8 -*-
def dijkstra(graph, startIndex, path, cost, max):

"""

求解各節點最短路徑，獲取path，和cost陣列，

path[i] 表示vi節點的前繼節點索引，一直追溯到起點。

cost[i] 表示vi節點的花費

"""

lenth = len(graph)

v = [0] * lenth
初始化 path，cost，V
for i in range(lenth):

if i == startIndex:

v[startIndex] = 1

else:

cost[i] = graph[startIndex][i]

path[i] = (startIndex if (cost[i] < max) else -1)
print v, cost, path
for i in range(1, lenth):

minCost = max

curNode = -1

for w in range(lenth):

if v[w] == 0 and cost[w] < minCost:

minCost = cost[w]

curNode = w

# for 獲取最小權值的節點

if curNode == -1: break

# 剩下都是不可通行的節點，跳出迴圈

v[curNode] = 1

for w in range(lenth):

if v[w] == 0 and (graph[curNode][w] + cost[curNode] < cost[w]):

cost[w] = graph[curNode][w] + cost[curNode] # 更新權值

path[w] = curNode # 更新路徑

# for 更新其他節點的權值（距離）和路徑

return path
if name == 'main':

max = 2147483647

graph = [

[max, max, 10, max, 30, 100],

[max, max, 5, max, max, max],

[max, max, max, 50, max, max],

[max, max, max, max, max, 10],

[max, max, max, 20, max, 60],

[max, max, max, max, max, max],

]

path = [0] * 6

cost = [0] * 6

print dijkstra(graph, 0, path, cost, max)

4 執行結果

[0, -1, 0, 4, 0, 3]

以上就是本文的全部內容，希望對大家的學習有所幫助，也希望大家多多支援菜鳥教程www.piaodoo.com。