演算法圖解學習筆記二

第四章　　快速排序

4.1 分而治之(D&C) -->解決問題的思路

　　1.例子:農場主分地問題： 將一塊地均勻地分成方塊

　　怎麼將一塊地均勻地分成方塊，且確保方塊是最大的-->使用D&C策略

　　(1).找出來基線條件，這種條件必須儘可能簡單

　　(2).不斷將問題分解，直到符合基線條件

　　first -->找基線條件 最簡單的情況是:一條邊的長度是另一條邊的整數倍

　　then--->找遞迴條件,我們先找這塊地容納的最大方塊

　　最初要劃分的土地為1680*640m

　　可從這裡劃分出兩個640*640m的方塊，同時餘下一塊400*640m的方塊

　　由歐幾里得演算法 -->使用於這小塊地的最大方塊也是整個地的最大方塊

　　問題轉化為了均勻劃分640*400土地的問題

　　下面使用同樣的演算法,可劃出的最大方塊為400*400，剩下一塊更小的土地240*400m

　　-->240*240m 　　　　　　240*160m

　　-->160*160m　　　　　　　 160*80m（基線條件）

　　-->80*80m　　　　　　　　　所以適應的最大方塊為80*80m

　　2.例子二:怎麼用遞迴函式來實現陣列元素相加 2 4 6

　　提示:編寫涉及陣列的遞迴函式時，基線條件通常是陣列為空或者只包含一個元素，陷入困境時，請檢查基線條件是不是這樣的。

　　3.函數語言程式設計:

　　　　如Haskell等函數語言程式設計語言無迴圈，只能用遞迴寫這種函式。--->理解遞迴的思想有利於學習函數語言程式設計語言

　　　　sum[]=0 //基線條件

　　　　sum[x:xs]=x+(sum xs) //遞迴條件　　

　　　　或者用Haskell中的if語句編寫

　　　　sum arr = if arr ==[]

　　　　　　　　　　then 0

　　　　　　　　 else (head arr)+(sum(tail arr))

4.2 快速排序 --->C標準庫中的函式qsort實現即快排 D&C+歸納證明

　　1.基線條件:陣列為空或只包含一個元素

　　2.遞迴條件:

　　(1).找基準值/主元(pivot) -->第一位，中間數，最後一位的中位數，並排序交換位置，把主元放到倒數第二個

　　(2).分割槽:

　　　　a.一個由所有小於主元的數字組成的子陣列

　　　　b.基準值

　　　　c.一個由大於主元數字組成的子陣列

　　(3)對左右分割槽進行排序

　　3.實現程式碼

def quicksort(array):
    if len(array)<2:   #基線條件
        return array
    else
        pivot=array[0];
        less=[i for i in array[1:] if i<=pivot]
        greater=[i for i in array[1:] if i>pivot]
        return quicksort(less)+[pivot]+quicksort(greater)

print quicksort([10,5,2,3])

4.3 再談大O表示法

　　1.快排的速度取決於選擇的基準值,平均執行時間為O(nlog n)，最糟糕的情況就是O(n*2) ，遇到平均情況的概率要比最糟糕情況大很多。

　　2.比較歸併排序和快速排序

　　在O表示法中，n可能實際為c*n,c為固定的時間量（一些時候這個常量很重要）

　　快排的C比合並查詢要小，所以如果他們的執行時間都為O(nlog n),快排的速度會更快。

　　3.平均情況和最糟糕情況：

　　　　每次將第一個值作為主元,對1，2，3，4，5，6，7，8進行排序，呼叫棧的長度為8，陣列並未對半分，其中一個子陣列始終為空。---->最糟糕情況 棧長O(n)

　　　　每次將陣列對半分---->呼叫棧的長度為4 最佳情況也是平均情況（隨機去一個主元的平均執行時間） 棧長O(log n)---層數

　　　　完成每一層的時間都是O(n)