演算法圖解學習筆記三

第九章　　動態規劃

9.1 揹包問題

問題簡介：假設你是一個小偷，揹包只能裝4kg東西，你可盜竊的商品有如下三件:音響 3000美元 4千克 膝上型電腦 2000美元 3千克 吉他 1500美元 1千克

　　1.簡單演算法:嘗試各種可能的商品組合，並找出價值最高的組合。------>可行但速度慢

　　3件商品 8種組合 4件商品 16種組合 執行時間O(2^n)

　　在前一章學習瞭如何找到近似解，但不一定是最優解

　　2.如何找最優解--->動態規劃

　　先解決子問題，再解決大問題

　　畫網格圖 計算每個單元格的公式=max(1.上一個單元格的值（c[i-1][j]）,2.當前商品的價值+剩餘空間的價值(c[i-1][j-當前商品的重量]))

9.2 揹包問題FAQ

　　1.再增加一件商品將如何?

　　加一個iPhone 前面幾行不需要重新計算 因為動態規劃是一個逐步計算最大價值的過程

　　沿著一列往下走，最大價值不可能降低，因為每次迭代時你儲存的是當前的最大價值，最大價值不可能比以前低！

　　2.行的排列順序發生改變時結果將如何?

　　沒有編號，各行排列順序無關緊要

　　3.可以逐列填充網路

　　4.增加一件更小的商品將如何呢?

　　假設你可以偷一條項鍊 0.5kg 1000美元 需要考慮的粒度更細，必須調整網格

　　5.可以偷走商品的一部分嗎?

　　假設在雜貨店偷，只有豆子和大米與麵條，可偷一部分--->動態規劃沒法處理這個問題，動態規劃要麼不拿，要麼拿一整件

　　使用貪婪演算法 --->儘可能多拿價值高的商品，如果拿光了，在儘可能多拿價值次高的商品。

　　6.旅遊行程最優化---揹包問題 約束條件為時間 畫網格圖

　　7.處理相互依賴的情況

　　假如你還想去巴黎玩，解決不了。。僅當每個子問題都是離散的，即不依賴於其他子問題時，動態規劃才有用。

　　8.計算最終的解時會涉及兩個以上的子揹包嗎？

　　動態規劃最多隻需合併兩個子揹包，即更根本不會涉及兩個以上的子揹包，不過這些子揹包又可能包含子揹包。

　　9.最優解可能導致揹包沒裝滿

9.3 最長公共子串

　　1.動態規劃問題帶來的啟示:

　　　　(1).動態規劃可在給定約束條件下找到最優解

　　　　(2).問題可分解為彼此獨立且離散的子問題時可使用動態規劃。但要設計出動態規劃解決法案maybe很難

　　　　(3).每種動態規劃解決方案都涉及網路

　　　　(4).單元格中的值通常是你要優化的值。

　　　　(5).每個單元格都是一個子問題 --->learn 如何將問題分解為子問題，有助'於找到網格的座標軸

ALEX輸入了hish,那原來它要輸入的是fish還是vista?

　　2.繪製網格 填充網格

　　　　怎麼繪製?　　　　單元格中的值是什麼?如何將這個問題劃分為子問題?網格的座標軸是什麼?

　　　　將某個指標最大化-------->找兩個單詞的最長公共子串 單元格中的值是我要優化的值

使用什麼公式呢?費曼演算法(Feynman) 步驟:

(1)將問題寫下來 (2)好好思考 (3)將答案寫下來

如果兩個字母不相同則為0，相同則為左上角鄰居的值+1

虛擬碼:

if word_a[i]=word_b[j]:#兩個字母相同
    cell[i][j]=cell[i-1][j-1]+1
else:
    cell[i][j]=0

查詢hish與vista的最長公共子串時，網格如下

需要注意的是:這個問題的最終答案不在最後一個單元格中!

揹包問題---->答案總在最後的單元格中 但對於最長公共子串問題---->答案為網格中最大的數字

9.4 最長公共子序列

　　如果Alex不小心輸入了fosh，他原本想輸入的是fish還是fort呢?

　　我們用最長的公共子串公式來比較他們.

最長公共子串長度一樣，都包含兩個字母，但fosh與fish更像。

解決方法: 比較最長公共子序列:兩個單詞中都有的序列包含的字母數。