技術標籤：計算器java演算法

高精度科學計算器

混合運算展示：

精度展示：

簡介：

可以進行混合運算，混合運算包括加法+，減法-，乘法*，除法/，取餘%，左括號(，右括號)，根號√，對數log，指數^。

如：輸入：(3+2)^2+108/5-10log2+3√64

​ 輸出：47.27807190511263678372

理論可以達到無限精度，過高的精度會增加計算時間，需要提前設定精度，即小數點後多少位，預設為32位。

按鍵功能及使用方法：

運算結果精度說明：

程式中使用Java的BigDecimal類實現高精度，BigDecimal類中自帶加法add()、減法subtract()、乘法multiply()、除法**divide()及整數次方pow()**函式。

在上述函式基礎上自己實現對數函式log()、指數函式pow()、三角函式sin()、cos()、tan()、arcsin()、arccos()、arctan()、**arccot()**函式，同樣可以達到無限精度。

步驟：

• 首先實現階乘函式

  public BigDecimal fac(int n)
  

• ln(x)的泰勒展開為：
  ln ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( 1 + y 1 − y ) = 2 y ( 1 1 + 1 3 y 2 + 1 5 y 4 + 1 7 y 6 + 1 9 y 8 + ⋯   ) \ln (x)=\ln \left(\frac{1+y}{1-y}\right) \quad=2 y\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{3} y^{2}+\frac{1}{5} y^{4}+\frac{1}{7} y^{6}+\frac{1}{9} y^{8}+\cdots\right) ln(x)=ln(1−y1+y​)=2y(11​+31​y2+51​y4+71​y6+91​y8+⋯)
  其中y = (x - 1) / (x + 1)

  在迴圈中不斷累加，如果當前項的值小於設定精度，預設小於10^-32時退出。

  但該展開式只有在x接近1時收斂比較快，如果計算ln(10)經測試大概耗時3s，完全不能忍。

  接下來通過放縮區間加快速度，已知ln(xy)=ln(x)+ln(y)，找一個折中的辦法，先將引數x 10倍放縮到[0.5, 5]區間，標記縮放次數為ln10Count，再將引數x 1.1倍縮放到[0.95, 1.05]區間得到x’，標記縮放次數為ln1_1Count，最終結果為ln10Count*ln(10) + ln1_1Count*ln(1.1) + ln(x’)，該方法需要提前計算ln(10)與ln(1.1)，但計算一次可以永久使用，對於ln(10)轉化為10*ln(1.25) + ln(1.073741824)進一步加快速度。

• y log x即以x為底y的對數可轉換為log(y)/log(x)

• a^x的泰勒展開式為：
  a x = e x ln ⁡ a = 1 + x ln ⁡ a 1 ! + ( x ln ⁡ a ) 2 2 ! + ( x ln ⁡ a ) 3 3 ! + ⋯ a^{x}=e^{x \ln a}=1+\frac{x \ln a}{1 !}+\frac{(x \ln a)^{2}}{2 !}+\frac{(x \ln a)^{3}}{3 !}+\cdots ax=exlna=1+1!xlna​+2!(xlna)2​+3!(xlna)3​+⋯
  其中需要前面實現的ln(x)

• sin(x)的泰勒展開式為：
  sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − ⋯ + ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 + ⋯ \sin x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}=x-\frac{1}{3 !} x^{3}+\frac{1}{5 !} x^{5}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}+\cdots sinx=n=0∑∞​(2n+1)!(−1)n​x2n+1=x−3!1​x3+5!1​x5−⋯+(2n+1)!(−1)n​x2n+1+⋯
  該展開式只能計算[0, PI/2]區間的sin(x)的值，需要先將引數轉換到此區間

• cos(x)同理

• tan(x) = sin(x)/cos(x)

• arctan(x)的泰勒展開式為：
  arctan ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 = x − 1 3 x 3 + 1 5 x 5 + ⋯ + ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 + ⋯ \arctan x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}=x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5} x^{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}+\cdots arctanx=n=0∑∞​2n+1(−1)n​x2n+1=x−31​x3+51​x5+⋯+2n+1(−1)n​x2n+1+⋯
  x定義域為實數集，但|x|在接近1或大於1的時候收斂速度特別慢

  解決辦法：

  1. 使用arctan(-x) = -arctan(x)，將引數限制到正實數
  2. 如果x>1,根據arctan(x)=PI/2-arctan(1/x),求arctan(1/x)，將引數轉換到[0, 1]區間
  3. 但x在接近1時(如0.99)收斂仍然很慢，接下來將引數x限制到[0, 0.5]區間
  4. 如果x>0.5，根據arctan(x)=arctan(y)+arctan((x-y)/(1+xy))，將arctan的引數限制到0.5以下，此處可以選更小的值達到更快的速度

• arccot(x) = PI/2 - arctan(x)

• arcsin(x) = arctan(x/sqrt(1-x^2))

• arccos(x) = PI/2 - arcsin(x)

混合運算實現流程：

• 使用正則表示式提取輸入算式的引數和運算子

  用於匹配的正則表示式：
  

• 將中綴表示式轉為字尾表示式

• 對字尾表示式進行計算

更新日誌：

• 2020.12.8 20.18

  三角函式仍使用double進行計算，精確到小數點後（16-整數位數）位（如計算atan(80°)=89.28384005452959，即小數位數為16-2位整數位=14位小數位），相當於對double變量表示不了的精度取了個近似值，計算結果不會再出現sin(30°) =0.49999999999999994這種情況。

• 2020.12.10 16.12

  正則表示式進行了優化，加入正後顧可以正確匹配負數和減法，比如對於“2-3”匹配結果應該為（“2”，“-”，“3”），對於“-2–3”匹配結果應該為（“-2”，“-”，“-3”）。

• 2020.12.10 16.12

  對數函式仍使用double進行計算，使用與三角函式相同的方法解決精度問題。

• 2020.12.11 10.46

  結果使用DecimalFormat.format()格式化字串，三位一體使用“,”分開顯示，但輸入引數還沒有實現，如果要實現的話必須要跟win10計算器一樣當引數輸入完畢，輸入運算子時引數才上移。

• 2020.12.14 19.07

  使用BigDecimal實現常用數學函式，可以達到無限精度

  輸出結果三位一體分隔開，便於閱讀，輸入暫未實現

待優化功能：

• 將輸入引數和計算結果三位一體使用“,”分隔開，便於閱讀，可以使用DecimalFormat.format()函式。
• 三角函式應該有角度制、弧度制、百分度制（梯度制），暫未實現百分度制。
• 使用BigDecimal實現對數函式及指數函式求解（log，ln，√，^），這樣可以達到任意精度，不再侷限於double的精度。
• 計算前檢查算式的合法性，直接用規則檢查比較複雜，可以在混合運算解析的過程中使用try和catch捕獲異常，對其他非混合運算算式可直接檢查。比如檢查反三角函式的輸入引數範圍可以直接用規則檢查，檢查階乘的引數是不是整數二者都可以。

現對數函式及指數函式求解（log，ln，√，^），這樣可以達到任意精度，不再侷限於double的精度。~~

• 計算前檢查算式的合法性，直接用規則檢查比較複雜，可以在混合運算解析的過程中使用try和catch捕獲異常，對其他非混合運算算式可直接檢查。比如檢查反三角函式的輸入引數範圍可以直接用規則檢查，檢查階乘的引數是不是整數二者都可以。

這個計算器也是匆匆趕時間完成的，再加上不可能考慮到所有輸入情況，沒有對錯誤的輸入進行提示，其中肯定存在不少問題，專案地址在下面，其中包括4個java檔案，CalculatorHMI實現計算器的圖形介面及按鍵的事件處理，修改其中的accuracy變數可以改變精度，也就是結果精確到小數點後多少位，預設為32位，更高的位數也可以，但計算時間也會加長。BigDecimalMath就是用泰勒公式重寫的Math庫中的函式，MixedOperation實現混合運算，Main檔案中就是主函式，是整個工程的入口。當然電腦上必須有jre也就是java執行環境才可以執行。

專案地址：https://github.com/STM32xxx/JavaCalculator

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