題解 P5339 【[TJOI2019]唱、跳、rap和籃球】

阿新 • • 發佈：2020-12-24

Solution [TJOI2019]唱、跳、rap和籃球

題目大意：有 \(a\) 個人喜歡唱，\(b\) 個人喜歡跳，\(c\) 個人喜歡 rap，\(d\) 個人喜歡籃球。你要從中選出 \(n\) 個人組成一個排列，如果存在一個位置 \(i\)，使得 \(i,i+1,i+2,i+3\) 位置的人依次喜歡唱、跳、rap、籃球，隊伍就會不和諧。求和諧排列數，相同喜好的學生之間不可區分。

二項式反演、計數

分析：

設 \(f(i)\) 為恰好有 \(i\) 組人討論 cxk 的方案數，\(U\) 為所有方案數。方便起見，記 \(\lfloor \frac{n}{4}\rfloor =lim\)

。

那麼 \(ans=U-\sum_{i=1}^{lim}f(i)\)

直接計算 \(f\) 比較困難，我們考慮二項式反演。

令 \(g(i)\) 表示我們欽定 \(i\) 個位置，以這些位置開始的若干 \(4\) 人組都討論 cxk 的方案數。

可以改寫答案為 \(ans=g(0)-\sum_{i=1}^{lim}f(i)\)

那麼有 \(g(x)=\sum_{i=x}^{lim}\binom{i}{x}f(i)\)
。對於每個恰好為 \(i\) 的方案，我們有 \(\binom{i}{x}\) 種方法從裡面欽定。

反演可知 \(f(x)=\sum_{i=x}^{lim}(-1)^{i-x}\binom{i}{x}g(i)\)

考慮如何算 \(g\)。

顯然討論 cxk 的 \(4\) 人組是互不相交的，因此我們可以將他們捆綁在一起，視作整體。

也就是 \(g(x)\)，有 \(n-4x+x=n-3x\) 個位置，這個時候欽定 \(x\) 個位置的方案為 \(\binom{n-3x}{x}\)。剩下的 \(n-4x\) 個人隨意排列，問題和計算 \(g(0)\) 沒有區別。

而 \(g(0)\) 是非常好計算的，假設只有喜歡唱、跳的人

從喜歡唱的人裡面選 \(x\) 個的方案為 \(A[x]\)，從喜歡跳的人裡面選 \(x\) 個的方案為 \(B[x]\)。

那麼從唱跳裡面選 \(n\) 個人組成合法排列的方案為 \(g[n]=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}A[i]B[n-i]\)

這個方法很容易推廣到四種，也就是將它們的 \(\text{EGF}\) 捲起來就行了。

求 \(g(x)\) 是 \(nlogn\) 的，方便起見反演求 \(f\) 直接 \(n^2\) 算，所以總的複雜度是 \(O(n^2logn)\) 的

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#pragma GCC optmize(2)
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr int maxn = 5e3,maxm = 1024,mod = 998244353,G = 3,invG = 332748118,inf = 0x7fffffff;
constexpr inline int add(const int a,const int b){return (a + b) % mod;}
constexpr inline int sub(const int a,const int b){return (a - b + mod) % mod;}
constexpr inline int mul(const int a,const int b){return (1ll * a * b) % mod;}
constexpr inline int qpow(int base,int b){//-std=c++17
	int res = 1;
	while(b){
		if(b & 1)res = mul(res,base);
		base = mul(base,base);
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
constexpr inline int inv(const int x){return qpow(x,mod - 2);}//-std=c++17
constexpr inline int calc(const int a,const int b){return mul(a,inv(b));}

int tr[maxn << 1],len;
void gettr(const int x){
	for(len = 1;len < x;len <<= 1);
	for(int i = 0;i < len;i++)tr[i] = (tr[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) ? (len >> 1) : 0);
}
struct poly : std::vector<int>{
	#define f (*this)
	using std::vector<int>::vector;
	void ntt(const int flg = 1){
		const int n = size();
		for(int i = 0;i < n;i++)
			if(i < tr[i])std::swap(f[i],f[tr[i]]);
		for(int p = 2;p <= n;p <<= 1){
			const int unit = qpow(flg == 1 ? G : invG,(mod - 1) / p);
			const int len = p >> 1;
			for(int k = 0;k < n;k += p){
				int now = 1;
				for(int l = k;l < k + len;l++){
					const int tt = mul(f[l + len],now);
					f[l + len] = sub(f[l],tt);
					f[l] = add(f[l],tt);
					now = mul(now,unit);
				}
			}
		}
		if(flg == -1){
			const int inv = ::inv(n);
			for(int i = 0;i < n;i++)f[i] = mul(f[i],inv);
		}
	}
	poly operator * (const poly &g)const{
		poly res;res.resize(size());
		for(unsigned int i = 0;i < size();i++)res[i] = mul(f[i],g[i]);
		return res;
	}
	#undef f
};
int binom[maxm][maxm],fac[maxm],facinv[maxm],lim,n,a,b,c,d,mi;
void init(){
	binom[0][0] = 1;
	for(int i = 1;i < maxm;i++){
		binom[i][0] = 1;
		for(int j = 1;j <= i;j++)binom[i][j] = add(binom[i - 1][j - 1],binom[i - 1][j]);
	}
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1;i < maxm;i++)fac[i] = mul(fac[i - 1],i);
	facinv[maxm - 1] = inv(fac[maxm - 1]);
	for(int i = maxm - 2;i >= 0;i--)facinv[i] = mul(facinv[i + 1],i + 1);
}
int sgn(const int x){return (x & 1) ? mod - 1 : 1;}
int g(const int x){
	if(x > (n / 4))return 0;
	if(x > mi)return 0;
	poly a,b,c,d;
	a.resize(::a + 1);
	b.resize(::b + 1);
	c.resize(::c + 1);
	d.resize(::d + 1);
	for(int i = 0;i <= ::a - x;i++)a[i] = mul(1,facinv[i]);
	for(int i = 0;i <= ::b - x;i++)b[i] = mul(1,facinv[i]);
	for(int i = 0;i <= ::c - x;i++)c[i] = mul(1,facinv[i]);
	for(int i = 0;i <= ::d - x;i++)d[i] = mul(1,facinv[i]);
	gettr(a.size() + b.size() + c.size() + d.size() - 3);
	a.resize(len),b.resize(len),c.resize(len),d.resize(len);
	a.ntt();b.ntt();c.ntt();d.ntt();
	poly res = a * b * c * d;
	res.ntt(-1);
	return mul(mul(res[n - 4 * x],fac[n - 4 * x]),binom[n - 3 * x][x]);
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("fafa.in","r",stdin);
#endif
	init();

	scanf("%d %d %d %d %d",&n,&a,&b,&c,&d);
	mi = min({a,b,c,d});
	lim = (n / 4);
	poly g;g.resize(lim + 1);
	for(int i = 0;i <= lim;i++)g[i] = ::g(i);
	poly f;f.resize(lim + 1);
	for(int x = 0;x <= lim;x++)
		for(int i = x;i <= lim;i++)
			f[x] = add(f[x],mul(mul(sgn(i - x),binom[i][x]),g[i]));
	int ans = g[0];
	for(int i = 1;i <= lim;i++)ans = sub(ans,f[i]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}