問題描述

大中鋒的學院要組織學生參觀博物館，要求學生們在博物館中排成一隊進行參觀。他的同學可以分為四類：一部分最喜歡唱、一部分最喜歡跳、一部分最喜歡rap，還有一部分最喜歡籃球。如果佇列中k,k + 1,k + 2,k + 3位置上的同學依次，最喜歡唱、最喜歡跳、最喜歡rap、最喜歡籃球，那麼他們就會聚在一起討論蔡徐坤。大中鋒不希望這種事情發生，因為這會使得隊伍顯得很亂。大中鋒想知道有多少種排隊的方法，不會有學生聚在一起討論蔡徐坤。兩個學生隊伍被認為是不同的，當且僅當兩個隊伍中至少有一個位置上的學生的喜好不同。由於合法的隊伍可能會有很多種，種類數對998244353取模。

輸入格式

輸入資料只有一行。每行5個整數，第一個整數n，代表大中鋒的學院要組織多少人去參觀博物館。接下來四個整數a、b、c、d，分別代表學生中最喜歡唱的人數、最喜歡跳的人數、最喜歡rap的人數和最喜歡籃球的人數。保證\(a+b+c+d \ge n\)

輸出格式

每組資料輸出一個整數，代表你可以安排出多少種不同的學生隊伍，使得隊伍中沒有學生聚在一起討論蔡徐坤。結果對998244353取模。

樣例輸入

4 4 3 2 1

樣例輸出

174

資料範圍

對於20%的資料，有\(n=a=b=c=d\le500\)

對於100%的資料，有\(n \le 1000\)， \(a, b, c, d \le 500\)

解析

我們可以考慮容斥。設 \(f_i\) 表示至少有 \(i\) 組學生會討論蔡徐坤，那麼我們只需要確定每組的第一個學生的位置即可，即

\[f_i=C_{n-3i}^i \]

對於剩下的 \(n-4i\) 個位置，我們可以隨便排列。我們可以發現，這其實是一個可重排列,但是要滿足排列長度等於 \(n-4i\)

\[\begin{align} g_i &= \sum_{x1\le a-i,x2\le b-i,x3\le c-i,x4\le d-i} \frac{(n-4i)!}{x1!x2!x3!x4!}\ \ [x1+x2+x3+x4=n-4i]\\ &= (n-4i)!\sum_{x1\le a-i,x2\le b-i,x3\le c-i,x4\le d-i} \frac{1}{x1!x2!x3!x4!}\ \ [x1+x2+x3+x4=n-4i] \end{align} \]

實際上，\(g_i\)

\[Ans=\sum_{i=0}^{n/4} (-1)^i f_i g_i \]

其中當 \(i=0\) 時，得到的是總方案數。

程式碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define int long long 
#define N 10002
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int G=3;
int n,a,b,c,d,i,j,fac[N],inv[N],r[N],A[N],B[N],C[N],D[N],ans;
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w;
}
int poww(int a,int b)
{
	int ans=1,base=a;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int cal(int n,int m)
{
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
void NTT(int *a,int inv,int n)
{
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
	}
	for(int l=2;l<=n;l<<=1){
		int mid=l/2;
		int cur=poww(G,(mod-1)/l);
		if(inv==-1) cur=poww(cur,mod-2);
		for(int i=0;i<n;i+=l){
			int omg=1;
			for(int j=0;j<mid;j++,omg=omg*cur%mod){
				int tmp=omg*a[i+j+mid]%mod;
				a[i+j+mid]=(a[i+j]-tmp+mod)%mod;
				a[i+j]=(a[i+j]+tmp)%mod;
			}
		}
	}
	if(inv==-1){
		for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*poww(n,mod-2)%mod;
	}
}
signed main()
{
	n=read();a=read();b=read();c=read();d=read();
	for(i=fac[0]=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[n]=poww(fac[n],mod-2);
	for(i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	for(i=0;i<=n/4;i++){
		if(a<i||b<i||c<i||d<i) continue;
		int m=1,lim=0;
		while(m<a+b+c+d-4*i) m<<=1,lim++;
		for(j=0;j<m;j++) r[j]=(r[j>>1]>>1)|((j&1)<<(lim-1));
		for(j=0;j<m;j++) A[j]=(j<=a-i)?inv[j]:0;
		for(j=0;j<m;j++) B[j]=(j<=b-i)?inv[j]:0;
		for(j=0;j<m;j++) C[j]=(j<=c-i)?inv[j]:0;
		for(j=0;j<m;j++) D[j]=(j<=d-i)?inv[j]:0;
		NTT(A,1,m);NTT(B,1,m);NTT(C,1,m);NTT(D,1,m);
		for(j=0;j<m;j++) A[j]=A[j]*B[j]%mod*C[j]%mod*D[j]%mod;
		NTT(A,-1,m);
		int tmp=cal(n-3*i,i)*A[n-4*i]%mod*fac[n-4*i]%mod;
		if(i%2==0) ans=(ans+tmp)%mod;
		else ans=(ans-tmp+mod)%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}