樹

1 普通樹

1.1 樹的概念

• 樹 (Tree) 是n(n>=0)個結點的有限集，當 n=0 時成為空樹，在任意一棵非空樹中

  • 有且僅有一個 特定的稱為根 (Root) 的結點

  • 當 n>1 時，其餘結點可分為 m(m>0) 個互不相交的有限集 1、T2、..、Tm，其中每一個集合本身又是一棵樹，並且稱為根的子樹 (SubTree)

• 每一個圈稱為樹的一個 結點 ，結點擁有的子樹數稱為 結點的度 (Degree) ，樹的度取樹內各結點的度的 最大值

  • 度為 0 的結點稱為葉結點 (Leaf) 或終端結點

  • 度不為 0 的結點稱為分支結點點或非終端結點，除根結點外，分支結點也稱為內部結點

• 節點間關係

  • 結點的子樹的根稱為結點的孩子 (Child)，相應的，該結點稱為孩子的雙親 (Parent) ，同一雙親的孩子之間互稱為兄弟 (Sibling)

  • 結點的祖先是從根到該結點所經分支上的所有結點

• 結點的層次

  • 結點的層次 (Level) 從根開始，根為第一層，根的孩子為第二層

  • 其雙親在同一層的結點互為堂兄弟

  • 樹中結點的最大層次稱為樹的深度 (Depth) 或高度

• 如果將樹中結點的各子樹看成從左至右是有次序的，不能互換的，則稱該樹為有序樹，否則稱為無序樹

• 森林 (Forest) 是 m(m>=0) 棵互不相交的樹的集合。對樹中每個結點而言，其子樹的集合即為森林

1.2 樹的結構及表示

雙親表示法

#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int ElemType ;
​
typedef struct PTNode{
   ElemType data;  //結點資料
   int parent;     //雙親位置
} PTNode;
​
typedef struct {
   PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];
   int r;      //根的位置
   int n;      //結點數目
} PTree;

• 此種表示法中，我們可以根據某節點的 parent 指標找到其雙親結點，時間複雜度為 O(1)

  ,當做一年到 parent == 1 時，表示找到了樹的根節點

• 但是，如果想要知道某結點的孩子，那麼只能遍歷整個樹，此時，應當改變一下表示方法

孩子表示法

• 每個結點的指標指向一個連結串列，連結串列中存放的是其孩子結點所對應的的下標值

孩子雙親表示法

• 將上方的孩子表示法進行完善，加入每個結點的雙親所對應的下標即可

  #include <stdio.h>
  #define MAX_TREE_SIZE 100
  typedef char ElemType;
  ​
  //孩子結點
  typedef struct CTNode{
     int child;              //孩子結點的下標
     struct CTNode *next;    //指向下一孩子結點的指標
  } *ChildPtr;
  ​
  //表頭結構
  typedef struct {
     ElemType data;          //存放樹中結點的資料
     int parent;             //存放雙親的下標
     ChildPtr firstChild;    //指向第一個孩子的指標
  } CTBox;
  ​
  //樹結構
  typedef struct {
     CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; //結點陣列
     int root, num;              //根節點和節點數量
  } CTree;

2 二叉樹

• 二又樹 (Bnary Tree) 是 n(n>=0) 個結點的有限集合，該集合或者為空集 (空二又樹) ，或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱為根結點點的左子樹和右子樹的二又樹組成

• 二叉樹特點

  • 每個結點最多有兩棵子樹，所以二又樹中不存在度大於 2 的結點

  • 左子樹和右子樹是有順序的，次序不能顛倒

  • 即使樹中某結點只有一棵子樹，也要 區分它是左子樹還是右子樹

• 斜樹：均為左子樹或者均為右子樹

• 滿二叉樹 ：在一棵二又樹中，如果所有分支結點 都存在左子樹和右子樹 ，並且 所有葉子都在同一層 上，這樣的二又樹稱為滿二又樹

  • 特點

    • 葉子只能出現在最下一層

    • 非葉子結點的度一定是 2

    • 在同樣深度的二又樹中，滿二又樹的結點個數一定最多，同時葉子也是最多

• 完全二叉樹 ：對一棵具有 n 個結點的二又樹按層序編號，如果編號為 i(1<=i<=n) 的結點與同樣深度的滿二又樹中編號為 i 的結點點位置完全相同，則這棵二叉樹稱為完全二又樹

• • 特點

    • 葉子結點只能出現在最下兩層

    • 最下層的葉子一定集中在左部連續位置

    • 倒數第二層，若有葉子結點，一定都在右部連續位置

    • 如果結點度為 1 ，則該結點只有左孩子

    • 同樣結點樹的二又樹，完全二又樹的深度最小

    • 滿二叉樹一定是完全二叉樹，但完全二叉樹不一定是滿二叉樹

• 二叉樹的性質

  • 二叉樹的第 i 層至多有 ​ 個結點 (i >= 1)

  • 深度為 k 的二叉樹至多有 ​ 個結點 (k >= 1)

  • 對於任意一棵二叉樹 T ，如果其終端結點數為 ​ ，度為 2 的結點數為 ​ ，則 ​n0 = n1 + 1

• • 如果對一棵擁有 n 個結點的完全二叉樹（深度為​）的結點按照層序編號，對於任意結點 i(1 <= i <= n) 具有以下性質：

    • 如果 i = 1 ，則結點 i 是二叉樹的根，無雙親

    • 如果 i > 1 ，則其雙親是結點 ​[ i / 2] （下限取整）

    • 如果 2i > n ，則結點 i 無左孩子（結點 i 為葉子結點 ），否則其左孩子是結點 2i

    • 如果 2i+1 > n ，則結點 i 無右孩子，否則其右孩子是結點 2i+1

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