NOIP--資料結構--Trie樹
1、 概述
Trie樹，又稱字典樹，單詞查詢樹或者字首樹，是一種用於快速檢索的多叉樹結構，如英文字母的字典樹是一個26叉樹，數字的字典樹是一個10叉樹。
Trie一詞來自retrieve，發音為/tri:/ “tree”，也有人讀為/traɪ/ “try”。
Trie樹可以利用字串的公共字首來節約儲存空間。如下圖所示，該trie樹用10個節點儲存了6個字串tea，ten，to，in，inn，int：
在該trie樹中，字串in，inn和int的公共字首是“in”，因此可以只儲存一份“in”以節省空間。當然，如果系統中存在大量字串且這些字串基本沒有公共字首，則相應的trie樹將非常消耗記憶體，這也是trie樹的一個缺點。
Trie樹的基本性質可以歸納為：
（1）根節點不包含字元，除根節點意外每個節點只包含一個字元。
（2）從根節點到某一個節點，路徑上經過的字元連線起來，為該節點對應的字串。
（3）每個節點的所有子節點包含的字串不相同。
2、 Trie樹的基本實現
字母樹的插入（Insert）、刪除（ Delete）和查詢（Find）都非常簡單，用一個一重迴圈即可，即第i 次迴圈找到前i 個字母所對應的子樹，然後進行相應的操作。實現這棵字母樹，我們用最常見的陣列儲存（靜態開闢記憶體）即可，當然也可以開動態的指標型別（動態開闢記憶體）。至於結點對兒子的指向，一般有三種方法：
1、對每個結點開一個字母集大小的陣列，對應的下標是兒子所表示的字母，內容則是這個兒子對應在大陣列上的位置，即標號；
2、對每個結點掛一個連結串列，按一定順序記錄每個兒子是誰；
3、使用左兒子右兄弟表示法記錄這棵樹。
三種方法，各有特點。第一種易實現，但實際的空間要求較大；第二種，較易實現，空間要求相對較小，但比較費時；第三種，空間要求最小，但相對費時且不易寫。
下面給出動態開闢記憶體的實現：
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#define MAX_NUM 26
enum NODE_TYPE{ //"COMPLETED" means a string is generated so far.
COMPLETED,
UNCOMPLETED
};
struct Node {
enum NODE_TYPE type;
char ch;
struct Node* child[MAX_NUM]; //26-tree->a, b ,c, .....z
};
struct Node* ROOT; //tree root
struct Node* createNewNode(char ch){
// create a new node
struct Node *new_node = (struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));
new_node->ch = ch;
new_node->type == UNCOMPLETED;
int i;
for(i = 0; i < MAX_NUM; i++)
new_node->child[i] = NULL;
return new_node;
}
void initialization() {
//intiazation: creat an empty tree, with only a ROOT
ROOT = createNewNode(' ');
}
int charToindex(char ch) { //a "char" maps to an index<br>
return ch - 'a';
}
int find(const char chars[], int len) {
struct Node* ptr = ROOT;
int i = 0;
while(i < len) {
if(ptr->child[charToindex(chars[i])] == NULL) {
break;
}
ptr = ptr->child[charToindex(chars[i])];
i++;
}
return (i == len) && (ptr->type == COMPLETED);
}
void insert(const char chars[], int len) {
struct Node* ptr = ROOT;
int i;
for(i = 0; i < len; i++) {
if(ptr->child[charToindex(chars[i])] == NULL) {
ptr->child[charToindex(chars[i])] = createNewNode(chars[i]);
}
ptr = ptr->child[charToindex(chars[i])];
}
ptr->type = COMPLETED;
}
|
3、 Trie樹的高階實現
可以採用雙陣列（Double-Array）實現。利用雙陣列可以大大減小記憶體使用量，具體實現細節見參考資料（5）（6）。
4、 Trie樹的應用
Trie是一種非常簡單高效的資料結構，但有大量的應用例項。
（1） 字串檢索
事先將已知的一些字串（字典）的有關資訊儲存到trie樹裡，查詢另外一些未知字串是否出現過或者出現頻率。
舉例：
@ 給出N 個單片語成的熟詞表，以及一篇全用小寫英文書寫的文章，請你按最早出現的順序寫出所有不在熟詞表中的生詞。
@ 給出一個詞典，其中的單詞為不良單詞。單詞均為小寫字母。再給出一段文字，文字的每一行也由小寫字母構成。判斷文字中是否含有任何不良單詞。例如，若rob是不良單詞，那麼文字problem含有不良單詞。
（2）字串最長公共字首
Trie樹利用多個字串的公共字首來節省儲存空間，反之，當我們把大量字串儲存到一棵trie樹上時，我們可以快速得到某些字串的公共字首。
舉例：
@ 給出N 個小寫英文字母串，以及Q 個詢問，即詢問某兩個串的最長公共字首的長度是多少？
解決方案：首先對所有的串建立其對應的字母樹。此時發現，對於兩個串的最長公共字首的長度即它們所在結點的公共祖先個數，於是，問題就轉化為了離線（Offline）的最近公共祖先（Least Common Ancestor，簡稱LCA）問題。
而最近公共祖先問題同樣是一個經典問題，可以用下面幾種方法：
1. 利用並查集（Disjoint Set），可以採用採用經典的Tarjan 演算法；
2. 求出字母樹的尤拉序列（Euler Sequence ）後，就可以轉為經典的最小值查詢（Range Minimum Query，簡稱RMQ）問題了；
（關於並查集，Tarjan演算法，RMQ問題，網上有很多資料。）
（3）排序
Trie樹是一棵多叉樹，只要先序遍歷整棵樹，輸出相應的字串便是按字典序排序的結果。
舉例：
@ 給你N 個互不相同的僅由一個單詞構成的英文名，讓你將它們按字典序從小到大排序輸出。
（4） 作為其他資料結構和演算法的輔助結構
如字尾樹，AC自動機等
5、 Trie樹複雜度分析
（1） 插入、查詢的時間複雜度均為O(N)，其中N為字串長度。
（2） 空間複雜度是26^n級別的，非常龐大（可採用雙陣列實現改善）。
6、 總結
Trie樹是一種非常重要的資料結構，它在資訊檢索，字串匹配等領域有廣泛的應用，同時，它也是很多演算法和複雜資料結構的基礎，如字尾樹，AC自動機等，因此，掌握Trie樹這種資料結構，對於一名IT人員，顯得非常基礎且必要！
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