2020.12.26 模擬賽 題解
0x00 前言
一些吐槽。
考得很變態誒，看每道題平均兩秒的時限就知道了。。。
T1 降智了想到優化懶得打。
T2 口胡了假優化，結果和暴力分一樣？？
T3 黑題還綁點？？
淪為平民了www。
0x01 T1
一 道 好 題。
題目描述不在贅述，Link。這道題抽象概括出模型後反而更復雜））
首先，不難往 \(dp\) 方向去想。
我們定義 \(dp[i][j]\) 表示處理到第 \(i\) 個語句時，第 \(i\) 個語句處在第 \(j\) 個縮排時的總共方案數。
找邊界，你會發現只有 for 語句能貢獻新的縮排，即有多少個 for 語句就最多有多少個縮排，故我們記 for 語句的個數為為 \(m\)
如果第 \(i-1\) 個語句是一個 for 語句，則當前語句一定在上一個語句的下一個縮排。
這很顯然吧，畢竟 for 語句一定不能在整個程式碼的最後一個。這個時候更新就很簡單了。
\(dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] (\forall j, 1 \leq j \leq m)\)。
那如果不是 for 語句呢？
我們想一想一個縮排的性質，如果上一個語句可以處於第 \(j\) 個縮排，則當前語句處於 \(i,0 \leq i \leq j\) 都是合法的。
因為如果上一個語句處於第 \(j\) 個縮排，則一定能在上面找到對應的使它合法的 for（當然如果 \(j = 0\)
這樣就很明朗了。
\(dp[i][j] = \sum_{k = j}^m dp[i - 1][k]\)。
當然，你會發現這裡其實有個字尾和，那麼每次維護上一個狀態的字尾和就可以實現優化。
注意，這道題玄學卡字首和（或許是卡 long long？？），我下來調就是因為這個 \(80pt\) 的。
實現就按以上轉移即可。注意取模。
#include <cstdio> typedef long long LL; const int MAXN = 5e3 + 5; const LL mod = (LL)1e9 + 7; int a[MAXN]; LL dp[MAXN][MAXN], sum[MAXN]; // 第 i 個數，當前 j 個縮排。 int main() { int n, m = 0; scanf ("%d", &n); for(int i = 1; i <= n; i++) { char st[5]; scanf ("%s", &st); if(st[0] == 's') a[i] = 0; else a[i] = 1; m += a[i]; } m++; dp[1][0] = 1; for(int i = 2; i <= n; i++) { sum[m + 1] = 0; for(int j = m; j >= 0; j--) sum[j] = (sum[j + 1] % mod + dp[i - 1][j] % mod) % mod; if(a[i] == 0) { if(a[i - 1] == 1) { for(int j = 1; j <= m; j++) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] % mod; continue; } for(int j = 0; j <= m; j++) dp[i][j] = sum[j] % mod; } else { if(a[i - 1] == 1) { for(int j = 1; j <= m; j++) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] % mod; continue; } for(int j = 0; j <= m; j++) dp[i][j] = sum[j] % mod; } } LL ans = 0; for(int i = 0; i <= m; i++) ans = (ans % mod + dp[n][i] % mod) % mod; printf("%lld\n", ans); return 0; }
0x03 T3
眾所周知，水是黑的。
洛谷上的連結link，原題來自 BZOJ 水壺，OJ 上的題顯然是喵喵喵根據「AnOI 2020」格式改的。。
首先，我們來證明一個性質：
對於一個圖，其中任意兩個點間的路徑我們記為 \(p\)。每個路徑上最大的權值為 \(q\)。則滿足 \(q\) 最小的路徑 \(p_0\) 一定在原圖的最小生成樹（森林）上。
我們設這顆最小生成樹（森林）為 \(T\)，兩點間路徑 \(p\) 上的最大值為 \(\max(p)\)。假設 \(p\) 不是 \(T\) 上的路徑，則一定存在一條路徑 \(p_1\) 使得 \(\max(p_1)\) 比 \(\max(p)\) 更小。我們考慮將 \(p_1\) 加入 \(T\)。
將這個路徑加入後，一定會在原樹上出現一個環，而這個環上的最大值一定為 \(\max(p)\)。
你會驚訝的發現，如果刪掉那條權值為 \(\max(p)\) 的邊，你會得到一顆新的樹，而明顯這才是真正的最小生成樹。
推出矛盾！原性質得證。
那麼我們現在得到了這樣一個性質，抽象概括出來也就是說我們的答案一定在原圖的 最小生成樹（森林） 上，因為樹上兩點路徑唯一，所以答案就是兩點間路徑上的最大邊。這顯然可以 樹上倍增 解決。
最後講講預處理，也就是如何去建圖。很顯然，暴力 BFS 是不可取的。於是我們考慮更高效的預處理方法。
其實還是 BFS，類雙向 BFS。我們首先將所有的城市裝入 BFS 的佇列，然後同時開始進行擴充套件。對一個點我們打兩種標記：\(flag\) 表示這個點是由哪個城市第一次走到的，\(ans\) 表示第一個走到這個點的城市到它的距離。那麼對於當前擴充套件到的節點，它的標記有兩種情況。
假設上一個點為 \(v\)，當前點為 \(u\)。
- \(ans_u\) 裡沒有值，也就是說當前是第一次走到，更新 \(flag_u\) 繼續擴充套件即可。
ans[u] = ans[v] + 1;
flag[u] = flag[v];
- ans 裡有值，也就是說之前有城市擴充套件到了，那麼就可以將當前這個城市和之前擴充套件的城市進行連邊，權值就是上一個點和這個點的 \(ans\) 之和。
Add_Edge(flag[u], flag[v], ans[u] + ans[v]);
然後按正常 BFS 繼續遍歷即可，完結撒花。
（程式碼略顯冗長，僅供參考。
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int read() {
int k = 1, x = 0;
char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') {
if (s == '-')
k = -1;
s = getchar();
}
while (s >= '0' && s <= '9') {
x = (x << 3) + (x << 1) + s - '0';
s = getchar();
}
return x * k;
}
void write(int x) {
if(x < 0) {
putchar('-');
x = -x;
}
if(x > 9)
write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
void print(int x, char s) {
write(x);
putchar(s);
}
int Max(int x, int y) { return x > y ? x : y; }
int Min(int x, int y) { return x < y ? x : y; }
void Swap(int &X, int &Y) {
int t = X;
X = Y;
Y = t;
}
const int MAXN = 2e3 + 5;
const int MAXL = 4e6 + 5;
int mp[MAXN][MAXN], h, w, p;
char s[MAXN];
struct node {
int x, y;
node() {}
node(int X, int Y) {
x = X;
y = Y;
}
};
struct edge {
int u, v, w;
edge() {}
edge(int U, int V, int W) {
u = U;
v = V;
w = W;
}
} e[MAXL];
int len = 0;
int dx[4] = { 1, -1, 0, 0 };
int dy[4] = { 0, 0, 1, -1 };
int ans[MAXN][MAXN], flag[MAXN][MAXN];
queue<node> q;
void bfs() {
while (!q.empty()) {
node now = q.front();
q.pop();
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int cx = now.x + dx[i];
int cy = now.y + dy[i];
if (cx < 1 || cx > h)
continue;
if (cy < 1 || cy > w)
continue;
if (mp[cx][cy])
continue;
if (ans[cx][cy] == -1) {
ans[cx][cy] = ans[now.x][now.y] + 1;
flag[cx][cy] = flag[now.x][now.y];
q.push(node(cx, cy));
} else if (flag[cx][cy] != flag[now.x][now.y])
e[++len] = edge(flag[now.x][now.y], flag[cx][cy], ans[cx][cy] + ans[now.x][now.y]);
}
}
}
struct data {
int ma, fa;
data() {}
data(int Ma, int Fa) {
ma = Ma;
fa = Fa;
}
} f[MAXL][25];
int fa[MAXL];
bool cmp(edge x, edge y) { return x.w < y.w; }
void Make_Set(int n) {
for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
}
int Find_Set(int x) {
if (fa[x] == x)
return x;
return fa[x] = Find_Set(fa[x]);
}
struct graph {
int v, w;
graph() {}
graph(int V, int W) {
v = V;
w = W;
}
};
vector<graph> g[MAXL];
void Add_Edge(int u, int v, int w) {
g[u].push_back(graph(v, w));
g[v].push_back(graph(u, w));
}
void kruskal() {
Make_Set(p);
sort(e + 1, e + len + 1, cmp);
for (int i = 1; i <= len; i++) {
int S = Find_Set(e[i].u), E = Find_Set(e[i].v);
if (S == E)
continue;
Add_Edge(S, E, e[i].w);
fa[S] = E;
}
}
int dep[MAXL];
void dfs(int x, int fa) {
for (int i = 0; i < g[x].size(); i++) {
int v = g[x][i].v;
if (v == fa)
continue;
dep[v] = dep[x] + 1;
f[v][0].fa = x;
f[v][0].ma = g[x][i].w;
for (int j = 0; j <= 20; j++) {
f[v][j + 1].fa = f[f[v][j].fa][j].fa;
f[v][j + 1].ma = Max(f[v][j].ma, f[f[v][j].fa][j].ma);
}
dfs(v, x);
}
}
int lca(int x, int y) {
if (dep[x] < dep[y])
Swap(x, y);
int ans = 0;
for (int i = 20; i >= 0; i--)
if (dep[f[x][i].fa] >= dep[y]) {
ans = Max(ans, f[x][i].ma);
x = f[x][i].fa;
}
if (x == y)
return ans;
for (int i = 20; i >= 0; i--)
if (f[x][i].fa != f[y][i].fa) {
ans = Max(ans, f[x][i].ma);
ans = Max(ans, f[y][i].ma);
x = f[x][i].fa;
y = f[y][i].fa;
}
ans = Max(ans, f[x][0].ma);
ans = Max(ans, f[y][0].ma);
return ans;
}
int main() {
// freopen("04-04.in", "r", stdin);
// freopen("ans1.out", "w", stdout);
int Q;
h = read(), w = read(), p = read(), Q = read();
for (int i = 1; i <= h; i++) {
scanf("%s", s + 1);
for (int j = 1; j <= w; j++)
if (s[j] == '.')
mp[i][j] = 0;
else
mp[i][j] = 1;
}
memset(ans, -1, sizeof ans);
for (int i = 1; i <= p; i++) {
int x = read(), y = read();
flag[x][y] = i;
ans[x][y] = 0;
q.push(node(x, y));
}
bfs();
// printf("%d\n", len);
kruskal();
for (int i = 1; i <= p; i++)
if (fa[i] == i)
dfs(i, -1);
for (int i = 1; i <= Q; i++) {
int x = read(), y = read();
if (Find_Set(x) != Find_Set(y))
print(-1, '\n');
else
print(lca(x, y), '\n');
}
return 0;
}