CF438E The Child and Binary Tree
阿新 • • 發佈:2020-12-31
CF438E The Child and Binary Tree
令 \(G(x)=\sum x^{c_i}\) ,\(F(x)=\sum ans_ix^i\) ,\(ans_i\) 表示權值為 \(i\) 的滿足條件的二叉樹數量。
欽定 \(F(0)=1\) ,為了方便卷積。
對於 \(>1\) 的 \(n\) 有
\[F(n)=\sum_{i=1}^{m}G(i)\sum_{j=0}^{n-i}F(j)F(n-i-j) \]即列舉一個節點的權值,然後列舉他左右兒子的權值
寫成卷積的形式就是:
\[F(x)=1+G(x)*F^2(x)\\ G(x)F^2(x)-F(x)+1=0\\ F(x)=\dfrac{1\pm \sqrt{1-4G(x)}}{2G(x)} \]有一點我還不是很清楚,可能要看那些真正理解生成函式的dalao的部落格(比如rqy的部落格),就是生成函式的收斂性。所以我只能預設生成函式是收斂的了,可能等以後忽然理解了就會再解釋一下。
這個方程有 \(2\) 個根,可是我們只能要一個,捨去哪個呢?我們要留下那個收斂的,丟掉那個發散的。
數列存在必然有一根收斂,所以不一定要證明收斂性,可以直接找到發散的舍掉即可。
\(\lim_{x\to 0}G(x)=0\) ,所以如果取正號,分子又 \(\ge 1\) ,這東西就發散了,舍掉。
所以 \(F(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-4G(x)}}{2G(x)}\)
這時候多項式開根,求逆,再卷,就做完了
或者再化一步
\[F(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-4G(x)}}{2G(x)}\\ =\dfrac{4G(x)}{2G(x)(1+\sqrt{1-4G(x)})}\\ =\dfrac{2}{1+\sqrt{1-4G(x)}} \]可以少卷一次,式子也簡潔一些。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define fi first #define se second #define mkp(x,y) make_pair(x,y) #define pb(x) push_back(x) #define sz(v) (int)v.size() typedef long long LL; typedef double db; template<class T>bool ckmax(T&x,T y){return x<y?x=y,1:0;} template<class T>bool ckmin(T&x,T y){return x>y?x=y,1:0;} #define rep(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i<=i##end;++i) #define per(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i>=i##end;--i) inline int read(){ int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();} while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return f?x:-x; } #define mod 998244353 const int N=100005; const int M=N<<2; namespace math{ int inv[N]; inline int qpow(int n,int k){int res=1;for(;k;k>>=1,n=1ll*n*n%mod)if(k&1)res=1ll*n*res%mod;return res;} inline void fmod(int&x){x-=mod,x+=x>>31&mod;} void initmath(const int&n=N-5){ inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod; } } using math::qpow; using math::fmod; namespace poly{ int lim,lg,rev[M]; void init_poly(const int&n){ for(lim=1,lg=0;lim<=n;lim<<=1,++lg); for(int i=0;i<lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1)); } void NTT(int*a,int op){ for(int i=0;i<lim;++i) if(i>rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]); const int g=op?3:math::inv[3]; for(int i=1;i<lim;i<<=1){ const int wn=qpow(g,(mod-1)/(i<<1)); for(int j=0;j<lim;j+=i<<1){ int w0=1; for(int k=0;k<i;++k,w0=1ll*w0*wn%mod){ const int X=a[j+k],Y=1ll*a[i+j+k]*w0%mod; fmod(a[j+k]=X+Y),fmod(a[i+j+k]=X-Y+mod); } } } if(op)return;int ilim=qpow(lim,mod-2); for(int i=0;i<lim;++i)a[i]=1ll*ilim*a[i]%mod; } #define clr(a,n) memset(a,0,sizeof(int)*(n)) #define cpy(a,b,n) memcpy(a,b,sizeof(int)*(n)) void poly_mul(int*f,int*g,int*ans,int n,int m){ static int A[M],B[M];init_poly(n+m); cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),NTT(A,1); cpy(B,g,m),clr(B+m,lim-m),NTT(B,1); for(int i=0;i<lim;++i)ans[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod; NTT(ans,0); } void poly_inv(int*g,int*f,int n){ static int A[M]; if(n==1)return g[0]=qpow(f[0],mod-2),void(); poly_inv(g,f,(n+1)>>1),init_poly(n<<1); cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),clr(g+n,lim-n); NTT(A,1),NTT(g,1); for(int i=0;i<lim;++i)g[i]=1ll*g[i]*(2-1ll*A[i]*g[i]%mod+mod)%mod; NTT(g,0),clr(g+n,lim-n); } void poly_sqrt(int*g,int*f,int n){ static int A[M],B[M]; if(n==1)return g[0]=1,void(); poly_sqrt(g,f,(n+1)>>1); clr(A,n),poly_inv(A,g,n),poly_mul(f,A,A,n,n); for(int i=0,iv=math::inv[2];i<n;++i)g[i]=1ll*(g[i]+A[i])*iv%mod; } } int n,m,f[M],g[M],ans[M]; signed main(){ n=read(),m=read()+1,math::initmath(),g[0]=1; for(int i=1,x;i<=n;++i)if((x=read())<m)g[x]=1; for(int i=1;i<m;++i)fmod(g[i]=mod-4ll*g[i]%mod); poly::poly_sqrt(f,g,m),fmod(++f[0]); poly::poly_inv(ans,f,m); for(int i=0;i<m;++i)fmod(ans[i]<<=1); for(int i=1;i<m;++i)printf("%d\n",ans[i]); return 0; }