D. The Child and Sequence

Description

• 給定數列，區間查詢和，區間取模，單點修改。
• \(n, m \leq 10^5, a_i\le 10^9\)。

Solution

思路與 花神遊歷各國 很像。

假設現在是 \(x\bmod p\)：

• 若 \(x < p\)：不用模；
• 若 \(x\ge p\)：設 \(x = pq + r(0\le r < p)\)，則 \(q\ge 1\)，於是操作後得到的數 \(r < \dfrac{x}{2}\)。

對於第一種情況，記錄區間最大值 \(mx\)，當 \(mx < p\) 時直接 return

對於第二種情況，數 \(n\) 至多經過 \(\log n\) 次取模操作就會變成 \(1\)，所以區間取模直接暴力遞迴即可。

一開始共可以被模 \(n \log a\) 次，然後單點修改可以使一個數多被模 \(\log\) 次，所以一共是 \((n + m)\log a\) 次。

Code

// 18 = 9 + 9 = 18.
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define Debug(x) cout << #x << "=" << x << endl
#define int long long
using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 5;

int a[MAXN];

#define lson pos << 1
#define rson pos << 1 | 1

struct tree
{
	int l, r, mx, sum;
}t[MAXN << 2];

void pushup(int pos)
{
	t[pos].mx = max(t[lson].mx, t[rson].mx);
	t[pos].sum = t[lson].sum + t[rson].sum;
}

void build(int pos, int l, int r)
{
	t[pos].l = l, t[pos].r = r;
	if (l == r)
	{
		t[pos].mx = t[pos].sum = a[l];
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(lson, l, mid);
	build(rson, mid + 1, r);
	pushup(pos);
}

void update_val(int pos, int dis, int k)
{
	int l = t[pos].l, r = t[pos].r;
	if (l == r)
	{
		t[pos].mx = t[pos].sum = k;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (dis <= mid)
	{
		update_val(lson, dis, k);
	}
	else
	{
		update_val(rson, dis, k);
	}
	pushup(pos);
}

void update_mod(int pos, int L, int R, int k)
{
	if (t[pos].mx < k)
	{
		return;
	}
	int l = t[pos].l, r = t[pos].r;
	if (l == r)
	{
		t[pos].mx %= k;
		t[pos].sum %= k;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (L <= mid)
	{
		update_mod(lson, L, R, k);
	}
	if (R > mid)
	{
		update_mod(rson, L, R, k);
	}
	pushup(pos);
}

int query(int pos, int L, int R)
{
	int l = t[pos].l, r = t[pos].r;
	if (L <= l && r <= R)
	{
		return t[pos].sum;
	}
	int mid = (l + r) >> 1, res = 0;
	if (L <= mid)
	{
		res = query(lson, L, R);
	}
	if (R > mid)
	{
		res += query(rson, L, R);
	}
	return res;
}

signed main()
{
	int n, m;
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%lld", a + i);
	}
	build(1, 1, n);
	while (m--)
	{
		int op, l, r, k;
		scanf("%lld%lld%lld", &op, &l, &r);
		if (op == 1)
		{
			printf("%lld\n", query(1, l, r));
		}
		else if (op == 2)
		{
			scanf("%lld", &k);
			update_mod(1, l, r, k);
		}
		else
		{
			update_val(1, l, r);
		}
	}
	return 0;
}