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在關於頂級數學家如何牛B的各種段子裡，一定少不了這個：

一次，馮·諾伊曼在晚會上，女主人勇敢地向他提出一個謎題：

兩列火車在同一軌道上以每小時30英里的速度相對而行，且相距1英里，這時棲在一列火車前面的一隻蒼蠅以每小時60英里的速度朝著另一列火車飛去。當它飛到另一列火車時，它又迅速地飛回來。它一直這樣飛過去飛回來，直到兩列火車不可避免地發生碰撞。問這隻蒼蠅共飛了多少英里？

幾乎在女主人剛解釋完問題的同時，馮·諾伊曼就答道：“1英里。”

“太讓我驚訝了，你這麼快就算出來了。”她說道。“大多數數學家都沒能看出這裡面的技巧，而是用無窮級數去計算，這花費了他們很長時間。”“什麼技巧？我也是用無窮級數算的。”馮·諾伊曼回答道。

長期以來，我一直以為是個江湖段子，沒想到居然是真有其事。感謝B乎作者ZHANGZaikun的考證：在1966年美國關於馮·諾伊曼的紀錄片中，尤金·維格納(EugeneWigner，理論物理學家及數學家，馮·諾伊曼的合作者，1963年諾貝爾物理學獎得主)接受採訪時講述了這個故事。據維格納所說，向馮·諾伊曼提問者向馮·諾伊曼提問者為馬克斯·玻恩(MaxBorn，量子力學創始人之一，1954年諾貝爾物理學獎得主)；當馮·諾伊曼給出答案時，“Bornwasastoundedandhesaid:‘Youarethefirstoneofmyscientistfriendswhosawthesolutionatonce.’Johnnysaid:‘Ican'tunderstandthat.It'sasimpleinfinitegeometricalseries.’”

在NormanMacrae所著的《馮·諾伊曼傳記》提到，當別人說起這個段子時，諾伊曼同學會補充：thefiguresactuallyputtomewerenotsosimple.估計當時的數字對計算挺不友好的。不過對於從小能心算9位數四則運算的諾伊曼同學來說估計也算不上什麼。

單純從難度來說，這道題即使放在小學奧數也是入門級的。兩列火車相遇需要1/60分鐘，蒼蠅在這段時間裡不停的來回飛，飛了多少來回不重要，關鍵是飛的時間確定了，所以飛過的距離是60英里/分鐘*1/60分鐘=1英里。

但人家大佬可是直接用無窮級數心算的，這怎麼可能？其實一點也不復雜，你也可以做到。為了計算方便，我們把題目簡化一下：

火車的距離是100公里，速度是20公里/小時，兩列火車的出發點分別命名A，B。蒼蠅的速度是30公里/小時，先從A點出發向B點飛。

每次蒼蠅遇到對面方向的火車就掉頭，我們可以計算出每次飛過的距離，然後全部加起來就可以了。根據題目條件，蒼蠅與火車相對飛行的速度是50公里/小時，計算步驟如下：

1. 與B點出發的火車距離100公里，2小時後相遇，飛行了60公里，折返點距離A點60公里。A點出發的火車行駛了40公里，與蒼蠅距離20公里。B點出發的火車也行駛了40公里，與A點距離60公里。
2. 與A點出發的火車距離20公里，2/5小時後相遇，飛行了12公里。折返點巨離A點48公里。B點出發的火車行駛了8公里，之前距離A點60公里，現在距離52公里。
3. 與B點出發的火車距離4公里，4/50小時後相遇，飛行了12/5公里。折返點距離A點48+5/12公里。A點出發的火車行駛了8/5公里，位置距離A點48+8/5公里，與蒼蠅的距離4/5公里。
4. ...

經過幾次推算，我們發現每一輪蒼蠅飛過的距離是上一輪的1/5，顯然構成了一個等比數列：初始值為60，比例係數1/5，我們就可以套用等比數列求和公式：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)，其中a是初始值，q是等比係數，n代表數列的前n項。因為q<1，所以當n無窮大時，q^n我們可以認為是0，這樣計算結果蒼蠅總共飛過了75公里。和我們用小學數學方法計算得到的結果一致。

有同學可能會問，到底在第幾次兩列火車才會相遇，答案是無窮次之後。所以我們在求和時n取無窮大。這個問題涉及到古希臘數學家，哲學家芝諾的一個著名悖論：一個人從A點走到B點，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2……如此迴圈下去，永遠不能到終點。中國古代經典《莊子·天下篇》中也提過類似的問題：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。第1次60公里，第2次12公里，第3次12/5公里，第4次12/25公里，我們可以寫一段小程式累加前20項試試：

a = 60
q = 0.2
s = 0
for i in range(20):
    s += a
    a *= q
print(s)

結果是74.99999999999923，非常非常接近75，但總是差那麼一點點，迴圈次數越多越接近。但為什麼無窮項加起來就等於75？這個問題的解決要到牛頓萊布尼茲發明微積分才得以解決，不過微積分剛發明的時候理論還不完備，更多隻是用於解決工程問題。有興趣的同學可以去了解一下引爆第二次數學危機的貝克萊悖論，後續經過柯西，康託等一系列數學家的不斷努力，才使得微積分的理論體系得到完備，解決了第二次數學危機。我們也得以放心的使用等比數列求和公式，當比例係數q<1時，無窮項求和直接簡化為S=a /(1-q)。

聰明的同學可以推匯出這道題目的更一般狀態：火車的速度分別為v1，蒼蠅的速度是v2，初始距離是k。我們可以得出：

1. a =v2*k/(v1+v2)
2. q=(v2-v1)/(v1+v2)

假設初始距離是80，火車的速度是15，蒼蠅的速度是25。套用上述公式：

1. a =25*80/(15+25)=50
2. q=(25-15)/(25+15)=1/4

利用求和公式S=50/(1-1/4)=50*4/3=200/3。記熟這個公式，多訓練幾次，當別人問你這個問題，就可以象諾伊曼同學一樣裝B了。不但能直接報出結果，還能說出每次折返蒼蠅飛了多少距離。

如果有更聰明的同學可以推算一下更更普通的狀態：火車的速度分別是v1，v2，蒼蠅的速度是v3，初始距離是k。