給一個數n，求它的約數個數

因為n可以唯一分解成質因數的乘積即\(n = p_1^{\alpha1}p_2^{\alpha2}...p_t^{\alpha t}\)，所以n的約數c的形式應該是\(c= p_1^{\beta1}p_2^{\beta2}...p_t^{\beta t}\)，對於任何兩組不同的\(\beta 1,...,\beta t\)的取值，由算數基本定理得c是不同的，由於\(\beta i\)的取值為\(0,1,...,\alpha i\)共\((\alpha i + 1)\)種，所以由乘法原理得：n約數個數為\((\alpha 1 + 1)\times...(\alpha t + 1)\)

給定n個正整數ai，請你輸出這些數的乘積的約數個數，答案對1e9+7取模。

#include<iostream>
#include<unordered_map>

using namespace std;

#define LL long long

const int mod = 1e9 + 7;

int n;
unordered_map<int, int> primes;

int main(){
    cin >> n;
    
    while(n --){
        int a;
        cin >> a;
        
        for(int i = 2; i <= a / i; i ++)
            if(a % i == 0)
               while(a % i == 0){
                   a /= i;
                   primes[i] ++;
               }
        
        if(a > 1) primes[a] ++;
    }
    
    LL res = 1;
    
    for(auto t : primes) res = res * (t.second + 1) % mod;
    
    cout << res;
    
    return 0;
}
 

給一個數n，求它的約數之和

公式：\(sum = (p_1^{0}+p_1^{1}+...+p_1^{\alpha1})\times...(p_t^{0}+p_t^{1}+...+p_t^{\alpha t})\)，把右側展開，共有\((\alpha 1 + 1)\times...(\alpha t + 1)\)項相加，並且每一項都是一個約數。

給定n個正整數ai，請你輸出這些數的乘積的約數之和，答案對1e9 + 7取模。

#include<iostream>
#include<unordered_map>

using namespace std;

#define LL long long

const int mod = 1e9 + 7;

int n;
unordered_map<int, int> primes;

int main(){
    cin >> n;
    
    while(n --){
        int a;
        cin >> a;
        
        for(int i = 2; i <= a / i; i ++)
            if(a % i == 0)
               while(a % i == 0){
                   a /= i;
                   primes[i] ++;
               }
        
        if(a > 1) primes[a] ++;
    }
    
    LL res = 1;
    
    for(auto prime : primes){
        int a = prime.first, b = prime.second; // a為底數，b為指數
        LL t = 1;
        while(b --) t = (t * a + 1) % mod;
        
        res = res * t % mod;
    }
    
    cout << res;
    
    return 0;
}
 

程式碼裡有一個計算\(1 + p^1 + p^2 + p^3 +… + p^a\)多項式的技巧：

res = 1
for(int i = 1; i <= a; i ++) res = res * p + 1;