1、什麼是斐波那契數？

• 斐波那契數，又稱黃金分割數列、因數學家萊昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
  
• 斐波那契數，通常用F(n) 表示，形成的序列稱為斐波那契數列。該數列由0 和 1 開始，後面的每一項數字都是前面兩項數字的和。也就是：

    F(0) = 0, 
    F(1)= 1
    F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
    給定N，計算F(N)。

2、經典解法-遞迴

根據題意，我們可以用遞迴求解。

    public int fib(int N) {
        if (N < 2) {
            return N;
        }
        return fib(N-1) + fib(N-2);
    }

但是這個是最好的解法嗎？

• 假如我們要計算的N為10，我們要先計算fib(9),再計算fib(8);
• 計算fib(9), 要計算fib(8)和fib(7),如此遞迴下去
• 計算fib(8), 要計算fib(7)和fib(6),如此遞迴下去

發現什麼問題沒？

• 越往小了算，重複計算越多, 時間效率n的n次方，不可想象
• fib(30)耗時 4毫秒
• fib(50)耗時 62秒
• fib(100)耗時（1h沒結果，停了）

那有沒有其它的好辦法呢？

• 你發現沒有我們用遞迴是從大到小計算，從fib(N)到fib(N-1)...fib(0)
• 但是我們fib(N)不知道結果，我們只知道fib(0)和fib(1)
• 我們可不可以試著從小到大計算

3、動態規劃

我們嘗試從小往大推演，把計算結果儲存下來，避免重複計算，這種方法一般稱之為動態規劃。

    public int fib(int N) {
        if (N < 2) {
            return N;
        }
        int[] cache = new int[N+1];
        cache[0] = 0;
        cache[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            cache[i] = cache[i-1] + cache[i-2];
        }
        return cache[N];
    }
 

• 上面的程式碼： cache[i] = cache[i-1] + cache[i-2]稱之為動態規劃公式
• 時間效率n, 遍歷一次即可
• 空間效率n，快取n個數據
• 空間效率還可以改進

4、動態規劃改進

• 我們用m代表fib(n-2), n代表fib(n-1), o代表fib(n)
• 每次計算結束再重置 m 和 n

    public int fib(int N) {
        if (N < 2) {
            return N;
        }
        int m = 0, n = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            int o = n + m;
            m = n;
            n = o;
        }
        return n;
    }

• 時間效率n, 遍歷一次即可
• 空間效率3
• 還有一種數學解法，有興趣的可以自己去了解