技術標籤：概率論概率論演算法matlab

文章目錄

• 1.前言
• 2.實驗目的
• 3.實驗原理
• • (1)問題描述
  • (2)問題求解
• 4.實驗過程
• 5.實驗結果
• 6.實驗結論
• 7.Matlab程式碼

1.前言

學習了概率論，決定自己動手程式設計實現蒲豐投針實驗來計算 π \pi π的值，其中本文程式碼部分參考了這篇文章.

2.實驗目的

通過模擬模擬實現蒲豐投針實驗來計算 π π π 值.

3.實驗原理

(1)問題描述

平面上畫著許多間距為 a a a的平行線，隨機地向此平面任投擲一長度為 l ( l < a ) l(l<a) l(l<a)的針 N N N次,觀察針與直線相交的次數記為 n n

(2)問題求解

以 x x x表示針的中點到最近的一條平行線的距離， ϕ \phi ϕ表示針與平行線的夾角。可知 0 ≤ x ≤ a 2 , 0 ≤ ϕ ≤ π , 0≤x≤\frac{a}{2},0≤\phi≤\pi, 0≤x≤2a​,0≤ϕ≤π,以 S S S表示長寬分別為 a 2 \frac{a}{2} 2a​和 π π π的長方形，要使針與平行線相交，必須保證 x ≤ l 2 s i n ϕ x≤\frac{l}{2}sin\phi x≤2l​sinϕ，滿足這個關係式的區域 G G G為下圖(圖中 b b b即為 l l l)中黃色部分，則所求概率即表示為 p = G 的 面 積 S 的 面 積 = 1 2 ∫ 0 π l sin ⁡ ϕ d ϕ 1 2 a π = 2 l π a p=\frac{G的面積}{S的面積}=\frac{\frac{1}{2}\int_0^\pi l\sin \phi d\phi}{\frac{1}{2}a \pi}=\frac{2l}{\pi a}

(圖來源網路，侵刪)

4.實驗過程

根據實驗原理用Matlab編寫程式，通過蒙特卡洛法生成規定量的隨機數模擬蒲豐投針實驗的結果，通過不斷增加試驗次數來得到更加精確結果.

5.實驗結果

6.實驗結論

由實驗結果可以看出，可以看出當 n n n足夠大時，頻率接近概率，蒲豐投針模擬實驗可以得到較為精確的 π π π值。

7.Matlab程式碼

l = 0.6; %針長度
a = 1;   %平行線寬度,l和a均可修改，只要滿足l<a即可
n = 100000; %做n次投針試驗
y = unifrnd(0, a/2, 1, n); %在[0, a/2]內服從均勻分佈隨機產生n個數
theta = unifrnd(0, pi, 1, n); %在[0, pi]內服從均勻分佈隨機產生n個數
k=sum(y<(l/2)*sin(theta));%記錄針與平行線相交的次數
pival = (2*l*n)/(a*k);
z=sprintf('%.12f',pival);
disp(z)