正題

題目連結:https://loj.ac/p/143

題目大意

給出一個數\(p\)，讓你判定是否為質數。

解題思路

\(Miller-Rabin\)是一種基於費馬小定理和二次探測定理的具有較高正確性的高效質數判定演算法。
首先講一下兩個定理

1. 費馬小定理：$$gcd(a,p)=1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ a^{p-1}=1(mod\ p)$$
2. 二次探測定理：若\(p\)是一個素數且有\(0<x<p\)那麼有$$x^n=1(mod\ p)\ \ \ \Rightarrow\ \ \ n=1\ or\ p-1$$

這兩個定理我們怎麼使用呢，我們先將\(p-1\)分解成\(2^st\)

再選取一個較小的質數\(a\)，然後不停將\(a^t\)平方，每平方一次就使用一次二次探測定理來判定質數。知道\(a^t\)平方\(s\)次後變為\(a^{p-1}\)就再用一次費馬小定理。

當然這樣無法完全保證正確性，但是如果我們多拿幾個質數試一試就可以大大縮小錯誤概率。並且目前可以證明在\(int\)範圍內使用前\(30\)個質數是保證不會出錯的，但是一般程式碼中為了確保效率會使用少一些素數。

注意使用\(long\ long\)時乘數可能會超過範圍，所以可以用黑科技\(O(1)\)的快速乘來解決

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll pri[20]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71};
ll ksc(ll a,ll b,ll p){
    a%=p;b%=p;
    ll c=(long double)a*b/p;
    long double ans=a*b-c*p;
    if(ans<0)ans+=p;
    else if(ans>=p)ans-=p;
    return ans;
}
ll power(ll x,ll b,ll p){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ksc(ans,x,p);
        x=ksc(x,x,p);b>>=1;
    }
    return ans;
}
bool MB(ll p){
    if(p==2)return 1;
    if(p<2||!(p&1))return 0;
    ll s=0,t=p-1;
    while(!(t&1))
        s++,t>>=1;
    for(ll i=0;i<10&&pri[i]<p;i++){
        ll x=power(pri[i],t,p),k;
        for(ll j=0;j<s;j++){
            k=ksc(x,x,p);
            if(k==1&&x!=1&&x!=p-1)
                return 0;
            x=k;
        }
        if(x!=1)return 0;
    }
    return 1;
}
int main()
{
    ll x;
    while(scanf("%lld",&x)!=EOF){
        if(MB(x))printf("Y\n");
        else printf("N\n");
    }
}