技術標籤：演算法學習gcd數學

約數

1.定義：若整數n除以d的餘數為0，即d能整除n，則稱d為n的約數，n是d的倍數，記為d|n。

算數基本定理的推論：

任何一個大於1的自然數 N,如果N不為質數，那麼N可以唯一分解成有限個質數的乘積N=P1^a1 * P2^a2 * P3^a3…* Pn ^an，這裡P1<P2<P3…<Pn均為質數，其中指數ai是正整數.

那麼正約數的個數為(a1+1) * (a2+1) … (an+1)
所有正約數的和為：(1+p1+p1^ 2+…+ p1^c1)* … *(1+pn+pn^ 2+…+ pn^cn)

求一個數的約數的集合：
1.試除法，時間複雜度為O(n根號n），由於太過簡單便不多加贅述

二.最大公約數（GCD)以及最小公倍數（LCM)
關於定義也不多加贅述
有這樣一個性質：兩個數的乘積等於其最大公約數乘最小公倍數

關於最大公約數的求法，最為常用的便是歐幾里得演算法，即對於任意兩個整數a,b,如果b不為0，那麼gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
證明：1.如果 a<b,那麼gcd(b,a mod b)=gcd(b,a)恆成立
2.如果a>=b,那不妨設a=qb+r，其中 0<=r<b,則r=a mod b,那麼對於任何a與b的公約數d,有d|a,d|(q

 int gcd(int a,int b)
 {
      return b?gcd(b,a%b):a;
 }