技術標籤：圖論抽象代數幾何學

帶權圖(weighted digraph)

設G=(V,E)是一簡單圖。稱一元函式 w:E®R+ 為圖G 的權函式，使得　對於每一條邊eÎE，均有一正實數w(e)ÎR+與之對應，稱圖G 為帶有權w的圖，簡稱為帶權圖。並記為G=(V,E, w)。

最短路(shortest path)

設G=(V,E,w)是一帶權圖。

(1)設P=(ei1, ei2,¼, eik)是G中的一條路。則路P的路長

定義為： w(P)=；

　(2)從結點u到結點v的最短路P0是滿足下述條件的路：

w(P0)=min{w(P) ê

注：當帶權圖中各邊的權值都為1時，則路長的定義就蛻化為§3一般圖的路長定義了。

E.W.Dijkstra演算法(1959)：

　演算法的目標是求出帶權圖G中從結點v0到結點vn的最短路。

　特別地，最短路

否則，將區域性段換為最短的，則可得一比P0更短的路P0¢，這與已知P0是最短路矛盾。

     No1.P:={v0} ； T :=V\{v0} ；              /*設定P-T介面*/ 
            d(v0) :=0；(tT)(d(t) := ) ；
                                  /*做圓標號(用一重for迴圈可實現) */
            p := v0 ； mark(v0) := d(v0) ；           /*做方標號*/
     No2. (tT)(d(t) := min{d(t) , d(p)+w(p,t)}) ；
　            /*按離介面最近方向修改圓標 號(用一重for迴圈可實現)*/
              (t0T)(tT)(d(t0) d(t)) ；
            /*尋求T 中圓標號最小的結點t0   (用一重for迴圈及if比較可實現)*/
     No3.P:=P{t0} ； T :=T\{t0} ；       /*修改P-T介面*/
              p := t0 ； mark(t0) := d(t0) ；        /*改圓為方*/
     No4.if t0 = vn  then  goto  exit ；
                            else goto No2 ；
 

將帶權圖G的結點集V分成兩部分：一部分稱為具有P標號(方標號)的集合；另一部分稱為具有T標號(圓標號)的集合。所謂結點vi的P標號是指從v0到vi的最短路的路長；而結點vi的T標號是指從v0到vi的某條路徑的長度。

　Dijkstra演算法首先將v0取為 P 標號結點；其餘的結點均取為T標號結點；然後按離P-T介面最近方向逐步地將具有T標號的結點改為P標號結點。當結點vn也被改為P標號結點時，也就求出了從(起始)結點v0到各個結點vi的最短路長；尤其是求出了從(起始)結點v0到(終結)結點vn的最短路長。

程式計演算法：
   1.    P={v0}；T={v1,v2,v3,v4,v5}；       
          d(v0)=0； d(v1)=d(v2)=d(v3)=d(v4)=d(v5)=； p=v0； 
   2.    d(v1)=1 ； d(v2)=4 ； d(v3)=d(v4)=d(v5)=；
          t0 =v1；
   3.    P={v0,v1}； T={v2, v3,v4,v5}； p=v1； 
   4.    t0v5； go to  2；
   2.    d(v2)=3 ； d(v3)=8 ； d(v4)=6 ； d(v5)=  ； 
          t0=v2 ；
   3.    P={v0,v1,v2}； T={v3,v4,v5}； p=v2； 
   4.    t0 v5 ； go to 2 ；
   2.    d(v3)=8 ； d(v4)=4 ； d(v5)=  ；
          t0 = v4 ；
   3.    P={v0,v1,v2, v4}；T={v3, v5}； p=v4；
   4.      t0 v5 ； go to 2；
   2. 	d(v3)=7； d(v5)=10；
    	 t0= v3；
   3. 	 P={v0, v1, v2, v4, v3}； T={v5} ； p=v3； 
   4. 	 t0v5 ； go to 2；
   2. 	 d(v5)=9；
    	 t0=v5 ；
   3. 	 P={v0,v1,v2,v4,v3,v5} ； T={ }； p=v5； 
   4.    t0=v5 ；exit ；
 

注： ·顯然，圖上作業法的優點是直觀，缺點是畫圖麻煩。 可以將No2步和No3步的圖合為一個圖，以達簡化的目地(例如圖3和圖4可合併成一個圖)；

·顯然，程式計算法的優點是簡便、機械，缺點是缺乏直觀性、計算出錯不易檢查。

·Dijkstra演算法能夠一次性的求出從起點v0到帶權圖G中其餘每一個結點的最短路長(就是各結點方標號中的數值)。

·Dijkstra演算法沒有直接給出從起點v0到帶權圖G中其餘各結點的最短路。因此，要直接給出從起點v0到帶權圖G中其餘各結點的最短路，需要修改Dijkstra演算法，或者①給其嵌入記憶系統(用表結構或僅記前一個結點)；或者②給其增加回溯功能。

Dijkstra演算法的特點：

·Dijkstra演算法是沿著P-T介面(按離介面最近方向)向前推進的；而不是沿著最短路向前推進的。

　 Dijkstra演算法的計算工作量主要是集中在No2。在úPê=k , úTê=n-k(0£k £ n-1)時，當P再增加一個結點，需進入一次迴圈：

從表1可得Dijkstra演算法的(時間)複雜性是n2級的； (空間)複雜性也是n2級的。