bzoj #3453.tyvj 1858 XLkxc 題解
阿新 • • 發佈:2021-01-16
技術標籤:題解_雜
題目大意: 令 f ( x ) f(x) f(x) 為自然數冪和, g ( x ) g(x) g(x) 為 f f f 的字首和,求 ∑ i = 0 n g ( a + i d ) \sum_{i=0}^n g(a+id) ∑i=0ng(a+id)。
題解
其實就是個拉格朗日插值的裸巢狀。
由於 f f f 是個 k + 1 k+1 k+1 次多項式,而 g g g 做差後得到 f f f,所以 g g g 是個 k + 2 k+2 k+2 次多項式。
令
h
(
n
)
=
∑
i
=
0
n
g
(
a
+
i
d
)
h(n)=\sum_{i=0}^n g(a+id)
h(n)=∑i=0ng(a+id),發現
h
h
h 做差後得到
g
g
g,所以
h
h
h 是個
k
+
3
k+3
k+3 次多項式。
套一下拉格朗日插值板子就做完了。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 210
#define ll long long
#define mod 1234567891
int T,k,a,n,d;
int ksm(int x,int y){int re=1;for(; (y&1?re=1ll*re*x%mod:0),y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod);return re;}
struct Lagrange{
int fac[maxn],inv_fac[maxn];
void init(){
fac[0]=inv_fac[0]=1;
for(int i=1;i<=maxn-10;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
inv_fac[maxn-10]=ksm(fac[maxn-10],mod-2);
for(int i=maxn-11;i>=1;i--)inv_fac[i]=1ll*inv_fac[ i+1]*(i+1)%mod;
}
int calc_f(int x,int k){//f不需要插值,因為x不會很大
long long re=0;
for(int i=1;i<=x;i++)
re+=ksm(i,k);
return re%mod;
}
int preg[maxn],sufg[maxn];
int calc_g(ll x,int k){
if(x<=k+3){
long long re=0;
for(int i=1;i<=x;i++)
re+=calc_f(i,k);
return re%mod;
}else{
long long re=0,sum=0;
preg[0]=1;for(int i=1;i<=k+3;i++)preg[i]=(x-i)%mod*preg[i-1]%mod;
sufg[k+4]=1;for(int i=k+3;i>=1;i--)sufg[i]=(x-i)%mod*sufg[i+1]%mod;
for(int i=1;i<=k+3;i++){
sum=(sum+calc_f(i,k))%mod;
if(k+3-i&1)re-=sum*preg[i-1]%mod*sufg[i+1]%mod*inv_fac[i-1]%mod*inv_fac[k+3-i]%mod;
else re+=sum*preg[i-1]%mod*sufg[i+1]%mod*inv_fac[i-1]%mod*inv_fac[k+3-i]%mod;
}
re=(re%mod+mod)%mod;
return re;
}
}
int preh[maxn],sufh[maxn];
int calc_h(int a,int d,int x,int k){
if(x<=k+4){
long long re=0;
for(int i=1;i<=x;i++)
re+=calc_g(a+1ll*(i-1)*d,k);
return re%mod;
}else{
long long re=0,sum=0;
preh[0]=1;for(int i=1;i<=k+4;i++)preh[i]=1ll*preh[i-1]*(x-i)%mod;
sufh[k+5]=1;for(int i=k+4;i>=1;i--)sufh[i]=1ll*sufh[i+1]*(x-i)%mod;
for(int i=1;i<=k+4;i++){
sum=(sum+calc_g(a+1ll*(i-1)*d,k))%mod;
if(k+4-i&1)re-=sum*preh[i-1]%mod*sufh[i+1]%mod*inv_fac[i-1]%mod*inv_fac[k+4-i]%mod;
else re+=sum*preh[i-1]%mod*sufh[i+1]%mod*inv_fac[i-1]%mod*inv_fac[k+4-i]%mod;
}
re=(re%mod+mod)%mod;
return re;
}
}
}Lag;
int main()
{
Lag.init();
scanf("%d",&T);while(T--)
{
scanf("%d %d %d %d",&k,&a,&n,&d);
printf("%d\n",Lag.calc_h(a,d,n+1,k));
}
}