BZOJ2281 黑白棋

BZOJ2281 黑白棋

1 題外話

博弈和DP不分家是吧

2 sol

由於先手不能左移，後手不能右移，那麼如果兩個棋子緊靠，雙方都不能移動，且不影響其他棋子的移動。

將白-黑之間的間隔視為石子，問題轉換成在\(n/2\) 個石子堆中任取\(1,2,...,d\) 個石子堆，每個可以取任意個

這是一個典型的k-nim問題，這裡有詳細闡述

給出結論：必敗態是把每堆石子轉換為二進位制後，其中每一位上為1的石子堆數都能被(d+1)整除

那麼我們設\(f[i][j]\) 表示考慮二進位制前i位，放置了j個石頭的方案數

轉移如下

\[f[i+1][j+k\times (d+1)\times 2^i]+=f[i][j]*C^{\frac{K}{2}}_{k\times (d+1)}\]

總方案減去必敗即為必勝

3 code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include
 
 <algorithm>
#define int long long
using namespace std;

const int N=100010;
const int mod=1000000007;

inline void read(int &x) {
    x=0;
    int f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {
        if (ch=='-') {
            f=-1;
        }
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    x*=f;
}


int n,k,d;
int C[N][210];
int f[30][N];
int bin[30];

inline void pre() {
    for(int i=0;i<=n;i++) {
        C[i][0]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=1;j<=min(2*k,i);j++) {
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
    bin[0]=1;
    for(int i=1;i<=20;i++) {
        bin[i]=bin[i-1]<<1;
    }
}

inline int c(int n,int m) {
    if (m>n-m) {
        m=n-m;
    }
    return C[n][m];
}

signed main() {
    read(n),read(k),read(d);
    k/=2;
    pre();
    f[0][0]=1;
    for(int i=0;i<15;i++) {
        for(int j=0;j<=n-2*k;j++) {
            for(int g=0;g*(d+1)<=k&&j+g*(d+1)*bin[i]<=n-2*k;g++) {
                f[i+1][j+g*(d+1)*bin[i]]+=f[i][j]*c(k,g*(d+1));
                f[i+1][j+g*(d+1)*bin[i]]%=mod;
            }
        }
    }
    int ans=c(n,k*2);
    for(int i=0;i<=n-2*k;i++) {
        ans-=(f[15][i]*c(n-i-k,k))%mod;
        ans=((ans%mod)+mod)%mod;
    }
    ans=((ans%mod)+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

Author: tt66ea

Created: 2021-08-13 週五 11:25

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