技術標籤：資料結構與刷題資料結構二分法

文章目錄

• • 一. 普通二分查詢
  • • • 普通二分法虛擬碼
      • 普通二分法的一些個人觀點：
  • 二. 本題 -- 我的解題思路

以下為原創程式碼，可以參考，但禁止轉載！
@ author = yhr

一. 普通二分查詢

（二分查詢一定建立於有序陣列上，以升序為例）

圖 來自 牛客網 -王清楚，稍有改動

標記 low =0 (left) ; high = len(陣列)-1 = right

普通二分法虛擬碼

# @ author = yhr
while low <= high:
	mid = (low+high)//2
	if v <a[mid]:
 

		# 去左半部分找
		high = mid -1
	elif a[mid] < v:
		# 去右半部分找
		low = mid + 1
	elif a[mid] == v:
		# 找到了一個
		return mid
return -1  # 真沒找到

普通二分法的一些個人觀點：

【我自己琢磨的，說不出來這個味，不對就打我吧。不確保絕對正確，但我感覺是正確的，大家可以一起琢磨琢磨，如果有數學證明就更好了！】

A. 如果查詢成功，一定在 mid位置， 此時low可能<high。也可能low=high=mid。
B. 如果查詢失敗，最後此數一定在（low-1 , low）之間。

B.1 查詢失敗情況一：最終當low=high=mid時，如果v<a[mid]，那麼high-=1，此時v一定在 a[high]=a[low-1] 與 a[low]之間。
B.2 查詢失敗情況二：最終當 low=high=mid時，如果a[mid]<v，那麼low+=1，此時v一定在 a[high]=a[low-1] 與 a[low]之間。

這個性質就可以用到該題上：

二. 本題 – 我的解題思路

題目描述：

請實現有重複數字的升序陣列的二分查詢。 輸出在陣列中 第一個 大於等於 查詢值的位置，如果陣列中不存在這樣的數，則輸出陣列長度加一。
（輸出位置從1開始計算）

兩個主關鍵點： 1. 第一個 2. 大於等於

這裡就忽略意外情況，不做細說：比如陣列為空！

剛才我說，普通二分查詢裡，如果找不到數值v，最後他一定是在a[low-1] 與 a[low]之間！

主關鍵點： 1. 第一個 2. 大於等於他的數的位置，那麼我們可以把大於等於統統歸咎於一個情況：

在陣列中，找到1. 第一個， 2.稍微大於v的位置

什麼意思呢？

• 我們把數組裡所有等於v的數 都看成：v + 正無窮小，即：數組裡沒有等於v的數，但是 有永遠比他只大一點的數。

• 那麼這個題目就變成 普通二分查詢裡，永遠找不到 的情況。

• 最後 a[low] 一定是比他大的（包括只大正無窮小的情況）第一個數的位置。

那麼只需要把普通二分查詢中，a[mid]==v的情況 --> 變成同a[mid]>v情況一起處理即可。

於是程式碼可以如此處理：

#
# 二分查詢
# @param n int整型 陣列長度
# @param v int整型 查詢值
# @param a int整型一維陣列 有序陣列
# @return int整型
#
class Solution:
    def upper_bound_(self , n , v , a ):
        if len(a) ==0:
        	# 處理陣列為空的情況
            return 1
        low = 0
        high = n-1
        while low <=high:
            mid = (low+high)//2
            if v <= a[mid]:
                high = mid-1
            elif v > a[mid]:
                low=mid +1

        return low +1

但是，還有些情況，我們可以直接寫出來，避免程式碼多跑些無用功，比如：

a. 當 v 小於 整個 升序陣列
b. 當 v 大於 整個 升序陣列

#
# 二分查詢
# @param n int整型 陣列長度
# @param v int整型 查詢值
# @param a int整型一維陣列 有序陣列
# @return int整型
#
class Solution:
    def upper_bound_(self , n , v , a ):
        if len(a) ==0:
        	# 處理陣列為空的情況
            return 1
        low = 0
        high = n-1

加入兩種特殊情況的處理工作，避免程式碼多跑無用功。

		# 加入兩個特殊情況
		if v < a[low]:
			# 輸出位置從1開始計算 
            return 1
        if v > a[high]:
            # 輸出位置從1開始計算 
            return high+1+1

		while low <=high:
            mid = (low+high)//2
            if v <= a[mid]:
                high = mid-1
            elif v > a[mid]:
                low=mid +1
		# 輸出位置從1開始計算 
        return low +1