【洛谷P3172】選數
阿新 • • 發佈:2021-01-21
題目
題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/P3172
我們知道,從區間 \([L,H]\)(\(L\) 和 \(H\) 為整數)中選取 \(N\) 個整數,總共有 \((H-L+1)^N\) 種方案。小 z 很好奇這樣選出的數的最大公約數的規律,他決定對每種方案選出的 \(N\) 個整數都求一次最大公約數,以便進一步研究。然而他很快發現工作量太大了,於是向你尋求幫助。你的任務很簡單,小 z 會告訴你一個整數 \(K\),你需要回答他最大公約數剛好為 \(K\) 的選取方案有多少個。
由於方案數較大,你只需要輸出其除以 \(10^9+7\) 的餘數即可。
\(n,k,L,H\leq 10^9,H-L\leq 10^5\)
思路
令 \(R=H\)。
直接莫比烏斯反演顯然有
換個列舉方式
\[ans=\sum^{\lfloor\frac{R}{d}\rfloor}_{i}\mu(i)\left(\lfloor\frac{R}{i·d}\rfloor-\lfloor\frac{L-1}{i·d}\rfloor\right)^n \]後面那個玩意可以整除分塊,然後我們只需要快速計算 \(\mu\) 的字首和。杜教篩即可。
程式碼
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N=5000010,MOD=1e9+7; int m,n,L,R,d,prm[N],mu[N]; ll ans; bool v[N]; map<int,int> sum; void findprm(int n) { mu[1]=1; for (int i=2;i<=n;i++) { if (!v[i]) prm[++m]=i,mu[i]=-1; for (int j=1;j<=m;j++) { if (i>n/prm[j]) break; v[i*prm[j]]=1; mu[i*prm[j]]=-mu[i]; if (i%prm[j]==0) { mu[i*prm[j]]=0; break; } } } } ll fpow(ll x,ll k) { ll ans=1; x%=MOD; for (;k;k>>=1,x=x*x%MOD) if (k&1) ans=ans*x%MOD; return ans; } ll summu(int n) { if (n<N) return mu[n]; if (sum[n]) return sum[n]; ll res=1; for (int l=2,r;l<=n;l=r+1) { r=n/(n/l); res=(res-summu(n/l)*(r-l+1))%MOD; } return sum[n]=res; } int main() { findprm(N-1); for (int i=1;i<N;i++) mu[i]+=mu[i-1]; scanf("%d%d%d%d",&n,&d,&L,&R); L--; for (int l=1,r;l<=R/d;l=r+1) { int i=l*d; if (!(L/i)) r=R/(R/i)/d; else r=min(L/(L/i),R/(R/i))/d; ans=(ans+(summu(r)-summu(l-1))*fpow(R/i-L/i,n))%MOD; } printf("%lld",(ans%MOD+MOD)%MOD); return 0; }