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Dynamic Programming之完全揹包

01揹包與完全揹包的比較：

在0/1揹包問題中，第 i 件物品只可以放0個或者1個，即選擇或者不選。而在完全揹包問題中，第 i 件物品可以放入0，1，2…個。即每件物品可以放入無限多次。

與0/1揹包相同的是，最大價值是物品數量 i 與揹包容量 j 的函式。最終的最大價值就是物品數量 i 從0增長到n，揹包容量 j 從0增長到m時的 f [ n ] [ m ] 函式值。f[ i ][ j ]表示前 i 件物品放入容量為 j 的揹包的最大價值。

①若當前物品的重量大於揹包的容量，即 w[ i ] > j 。則該物品不能放入 。f [ i ][ j ] 更新為 f [ i - 1] [ j ]。

完全揹包的狀態轉移方程

例題
原題連結
有 N 種物品和一個容量是 V 的揹包，每種物品都有無限件可用。
第 i 種物品的體積是 vi，價值是 wi。
求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。
輸出最大價值。

AC程式碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const
 
 int N = 1010;
int f[N][N];//二維陣列
int v[N];//價值陣列
int w[N];//重量陣列

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    //初始化重量和價值陣列
    for (int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
    
    //用i遍歷物品,用j遍歷揹包的容量
    for (int i = 1;i <= n;i++){
        for (int j = 1;j <= m;j++){
            //狀態轉移方程
            if (j < w[i]) f[i][j] = f[i - 1][j];
            else f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i][j - w[i]] + v[i]);
        }
    }
    
    printf("%d\n",f[n][m]);
}