技術標籤：2021寒假演算法練習Div2Codeforces補題

Codeforces Round #685 (Div. 2) 全文見：https://blog.csdn.net/qq_43461168/article/details/113175779

E. Bitwise Queries

題意：給定一個未知的陣列。長度為n。值在[0,n-1]區間。可以進行詢問，詢問任意兩個數的任意位運算的值。AND，OR，XOR。要求在n+2(easy)/n+1(hard)次操作只能給出原陣列。

思路參考：https://blog.csdn.net/qq_45458915/article/details/109990408

思路：初看這個題。很容易想到。只要確定了陣列中的某一個值。剩下的就可以直接異或得出。那就想辦法獲得a[1]的值就行了。

核心公式：a+b = (a^b)+2*(a&b)。 a ^c = (a^b)^(b^c)

有了這兩個公式。我們可以選前三個數兩兩做異或和與運算。求出 a+b + a+c + b+c。也就是可以求出a+b+c。又因為已經求出了b+c。就可以求出a了。 但是求 a+b 要兩次，b+c兩次，a+c兩次。就6次了。再加剩下的 n-3 個。就需要n+3次操作。 此時用公式2。就可以減少一次異或了。也就是隻需要 ab，bc異或。 ac就已經是知道的了。所以總次數n+2。 E1就過了。 對於E2，要減少一次操作，就需要利用到題目給的資料的性質了。

如果 資料中有兩個相同的值。那麼，要麼和a[1]相等，那麼異或值等於0。這時候再做一次與運算。就可以求出a[1]了。 要麼 a[i]^a[1] == a[j]^a[1]。這就說明a[i]和a[j]是相等的。那麼，同樣的。我們只需要對a[i]和a[j]做與運算，他們就求出來了。再根據和a[1]的異或值。就可以求出a[1]了。操作次數為n。

如果資料中沒有重複值。又因為資料範圍是[0,n-1]並且n是2的冪次。也就是說。一定會有一個數。和a[1]異或起來等於n-1，也就是二進位制位全為1。並且a[1]和a[j]沒有相同位。 也就是說 a[i]&a[1] == 0。有了這個再結合E1的解法。因為E1 需要兩次異或和三次 與 可以求出三個值。而這裡已經可以知道了其中一個 與 和兩次異或 的值。 也就是再做兩次與。總共5次操作。就可以求出a[1] 了。 於是就解出來。 操作次數為 n+1。

AC程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mk make_pair
 

using namespace std;
const int N = 1e6+7;
const int mod = 1e9+7;
int t = 1,n,m,k;
int a[N];
int tmp[N];

int ask(string op,int i,int j){
    cout<<op<<" "<<i<<" "<<j<<endl;
    cout.flush();
    int x;
    cin>>x;
    return x;
}

map<int,int> mp;
int zero = -1;
int same = -1;
int n_1 = -1;

signed main(){
    //cin>>t;
    while(t-- ){
        cin>>n;
        for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
            tmp[i] = ask("XOR",1,i);
            if(mp[tmp[i]]){
                same = i;
            }
            if(tmp[i] == 0){
                zero = i;
            }
            if(tmp[i] == n-1){
                n_1 = i;
            }
            mp[tmp[i]] ++;
        }
        if(zero != -1){         // 有至少一個數和a[1] 相等
            int now = ask("AND",1,zero);
            a[1] = now;
        }else if(same != -1){   // 有 a[2-n] 中有兩個數相等
            for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
                if(tmp[i] == tmp[same]){
                    int now = ask("AND",i,same);
                    a[i] = now;
                    a[1] = tmp[i]^a[i];
                    break;
                }
            }
        }else if(n_1){          // 有一個數 異或a[1] = n-1
            int c = -1;         // 隨便找一個數 c
            if(n_1+1 <= n) c = n_1+1;
            else c = n_1-1;
            int axorb = n-1,axorc = tmp[c],bxorc = axorb^axorc;
            int aandb = 0,aandc = ask("AND",1,c),bandc = ask("AND",n_1,c);
            int abc = (axorb+axorc+bxorc+2*(aandb+aandc+bandc))/2;
            int bc = bxorc+2*bandc;
            a[1] = abc - bc;
        }
        cout<<"! "<<a[1]<<" ";
        for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
            a[i] = tmp[i]^a[1];
            cout<<a[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
        cout.flush();
    }
    return 0;
}