技術標籤：# 並查集# 貪心# 樹堆並查集貪心演算法樹逆序對

01 on Tree

題目連結：luogu AT3957

題目大意

有一棵根為 1 1 1 的樹，每個節點有個值 0 0 0 或 1 1 1。
然後每次你可以把一個沒有父親的點刪除，然後把值放進一個數組裡。
要你得出的陣列逆序對儘可能少，要輸出這個最小的逆序對個數。

思路

那我們會發現從根節點開始刪會很麻煩，很難處理，那我們考慮反著來：從葉節點開始不斷合併，向根節點上傳答案。

那我們要先發現一件事，對於一個點 x x x 的一個子樹 y y y，它不管 y y y 裡面怎麼排列，裡面產生了多少個逆序對，最終排列 x x

那我們就可以對於每個子樹都看它怎麼排列好。我們貪心一下。
首先，對於兩個子樹 i , j i,j i,j，設它們 0 0 0 的數量為 n u m 0 i , n u m 0 j num0_i,num0_j num0i​,num0j​， 1 1 1 的數量為 n u m 1 i , n u m 1 j num1_i,num1_j num1i​,num1j​。
那如果 i i i 在 j j j 的前面，新增逆序對的個數就是 n u m 1 i × n u m 0 j num1_i\times num0_j

那這個我們可以用堆來維護。

但是這是不能直接遞迴來搞的，我們要把每個點都看成獨立，然後想父親的方向合併。

那我們要維護 0 , 1 0,1 0,1 個數，自然要用並查集。

記得要判斷當前點是否被刪掉，因為當合並完之後，它父親節點要刪去，我們只要看 n u m 0 , n u m 1 num0,num1 num0,num1，就可以得知是否被合併。

還有一點就是 1 1 1，也就是根節點是不用再合併的，因為沒有父親。

程式碼

#include<queue>
#include<cstdio>

using namespace std;

struct Teap {
	int x, num_1, num_0;
};
bool operator < (Teap x, Teap y) {//用堆將點按貪心思想排序
	return 1ll * x.num_0 * y.num_1 < 1ll * x.num_1 * y.num_0;
}

int n, a[200001], father[200001];
int fa[200001], num[200001][2];
long long ans;
priority_queue <Teap> q;

int find(int now) {//並查集
	if (father[now] == now) return now;
	return father[now] = find(father[now]);
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &fa[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
		num[i][a[i]]++;
		
		father[i] = i;
	}
	
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		q.push((Teap){i, num[i][1], num[i][0]});
	
	while (!q.empty()) {
		Teap now = q.top();
		q.pop();
		
		int x = find(now.x);
		if (num[x][0] != now.num_0 || num[x][1] != now.num_1)
			continue;//這個點已近被刪除
		
		int y = find(fa[x]);
		ans += 1ll * num[x][0] * num[y][1];//加上逆序對個數
		
		num[y][0] += num[x][0];//這個子樹所包含的0/1的個數增加
		num[y][1] += num[x][1];
		
		father[x] = y;//並查集連線
		
		if (y != 1)//繼續下去
			q.push((Teap){y, num[y][1], num[y][0]});
	}
	
	printf("%lld", ans);
	
	return 0;
}