「程式碼隨想錄」本週學習小結！（動態規劃系列五）
技術標籤：leecode題解java演算法資料結構動態規劃面試
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週一
動態規劃：377. 組合總和 Ⅳ中給定一個由正整陣列成且不存在重複數字的陣列，找出和為給定目標正整數的組合的個數（順序不同的序列被視作不同的組合）。
題目面試雖然是組合，但又強調順序不同的序列被視作不同的組合，其實這道題目求的是排列數！
遞迴公式：dp[i] += dp[i - nums[j]];
這個和前上週講的組合問題又不一樣，關鍵就體現在遍歷順序上！
在動態規劃：518.零錢兌換II 中就已經講過了。
如果求組合數就是外層for迴圈遍歷物品，內層for遍歷揹包。
如果求排列數就是外層for遍歷揹包，內層for迴圈遍歷物品。
如果把遍歷nums（物品）放在外迴圈，遍歷target的作為內迴圈的話，舉一個例子：計算dp[4]的時候，結果集只有 {1,3} 這樣的集合，不會有{3,1}這樣的集合，因為nums遍歷放在外層，3只能出現在1後面！
所以本題遍歷順序最終遍歷順序：target（揹包）放在外迴圈，將nums（物品）放在內迴圈，內迴圈從前到後遍歷。
class Solution { public: int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) { vector<int> dp(target + 1, 0); dp[0] = 1; for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍歷揹包 for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍歷物品 if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) { dp[i] += dp[i - nums[j]]; } } } return dp[target]; } };
週二
爬樓梯之前我們已經做過了，就是斐波那契數列，很好解，但動態規劃：70. 爬樓梯進階版（完全揹包）中我們進階了一下。
改為：每次可以爬 1 、 2、…、m 個臺階。問有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？
1階，2階，… m階就是物品，樓頂就是揹包。
每一階可以重複使用，例如跳了1階，還可以繼續跳1階。
問跳到樓頂有幾種方法其實就是問裝滿揹包有幾種方法。
此時大家應該發現這就是一個完全揹包問題了！
和昨天的題目動態規劃：377. 組合總和 Ⅳ基本就是一道題了，遍歷順序也是一樣一樣的！
程式碼如下：
class Solution { public: int climbStairs(int n) { vector<int> dp(n + 1, 0); dp[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍歷揹包 for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍歷物品 if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j]; } } return dp[n]; } };
程式碼中m表示最多可以爬m個臺階，程式碼中把m改成2就是本題70.爬樓梯可以AC的程式碼了。
週三
動態規劃：322.零錢兌換給定不同面額的硬幣 coins 和一個總金額 amount。編寫一個函式來計算可以湊成總金額所需的最少的硬幣個數（每種硬幣的數量是無限的）。
這裡我們都知道這是完全揹包。
遞迴公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
關鍵看遍歷順序。
本題求錢幣最小個數，那麼錢幣有順序和沒有順序都可以，都不影響錢幣的最小個數。。
所以本題並不強調集合是組合還是排列。
那麼本題的兩個for迴圈的關係是：外層for迴圈遍歷物品，內層for遍歷揹包或者外層for遍歷揹包，內層for迴圈遍歷物品都是可以的！
外層for迴圈遍歷物品，內層for遍歷揹包：
// 版本一
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍歷物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍歷揹包
if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值則跳過
dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
}
}
}
if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
return dp[amount];
}
};
外層for遍歷揹包，內層for迴圈遍歷物品：
// 版本二
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; i++) { // 遍歷揹包
for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍歷物品
if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
}
}
}
if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
return dp[amount];
}
};
週四
動態規劃：279.完全平方數給定正整數 n，找到若干個完全平方數（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它們的和等於 n。你需要讓組成和的完全平方數的個數最少（平方數可以重複使用）。
如果按順序把前面的文章都看了，這道題目就是簡單題了。 dp[i]的定義，遞推公式，初始化，遍歷順序，都是和動態規劃：322. 零錢兌換 一樣一樣的。
要是沒有前面的基礎上來做這道題，那這道題目就有點難度了。
這也體現了刷題順序的重要性。
先遍歷揹包，在遍歷物品：
// 版本一
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍歷揹包
for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍歷物品
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
}
}
return dp[n];
}
};
先遍歷物品，在遍歷揹包：
// 版本二
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍歷物品
for (int j = 1; j <= n; j++) { // 遍歷揹包
if (j - i * i >= 0) {
dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
}
}
}
return dp[n];
}
};
總結
本週的主題其實就是揹包問題中的遍歷順序！
我這裡做一下總結：
求組合數：動態規劃：518.零錢兌換II
求排列數：動態規劃：377. 組合總和 Ⅳ、動態規劃：70. 爬樓梯進階版（完全揹包）
求最小數：動態規劃：322. 零錢兌換、動態規劃：279.完全平方數
此時我們就已經把完全揹包的遍歷順序研究的透透的了！
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