技術標籤：leecode題解演算法面試資料結構

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之前我們已經體統的講解了01揹包和完全揹包，如果沒有看過的錄友，建議先把如下三篇文章仔細閱讀一波。

• 動態規劃：關於01揹包問題，你該瞭解這些！
• 動態規劃：關於01揹包問題，你該瞭解這些！（滾動陣列）
• 動態規劃：關於完全揹包，你該瞭解這些！

這次我們再來說一說多重揹包

多重揹包

對於多重揹包，我在力扣上還沒發現對應的題目，所以這裡就做一下簡單介紹，大家大概瞭解一下。

有N種物品和一個容量為V 的揹包。第i種物品最多有Mi件可用，每件耗費的空間是Ci ，價值是Wi 。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的耗費的空間 總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

多重揹包和01揹包是非常像的， 為什麼和01揹包像呢？

每件物品最多有Mi件可用，把Mi件攤開，其實就是一個01揹包問題了。

例如：

揹包最大重量為10。

物品為：

問揹包能背的物品最大價值是多少？

和如下情況有區別麼？

毫無區別，這就轉成了一個01揹包問題了，且每個物品只用一次。

這種方式來實現多重揹包的程式碼如下：

void test_multi_pack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    vector<int> nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums[i] > 1) { // nums[i]保留到1，把其他物品都展開
            weight.push_back(weight[i]);
            value.push_back(value[i]);
            nums[i]--;
        }
    }

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍歷物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍歷揹包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;

}
int main() {
    test_multi_pack();
}

 

• 時間複雜度：O(m * n * k) m：物品種類個數，n揹包容量，k單類物品數量

也有另一種實現方式，就是把每種商品遍歷的個數放在01揹包裡面在遍歷一遍。

程式碼如下：（詳看註釋）

void test_multi_pack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    vector<int> nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);


    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍歷物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍歷揹包容量
            // 以上為01揹包，然後加一個遍歷個數
            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍歷個數
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
            }
        }
        // 列印一下dp陣列
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl; 
}
int main() {
    test_multi_pack();
}

• 時間複雜度：O(m * n * k) m：物品種類個數，n揹包容量，k單類物品數量

從程式碼裡可以看出是01揹包裡面在加一個for迴圈遍歷一個每種商品的數量。 和01揹包還是如出一轍的。

當然還有那種二進位制優化的方法，其實就是把每種物品的數量，打包成一個個獨立的包。

和以上在迴圈遍歷上有所不同，因為是分拆為各個包最後可以組成一個完整揹包，具體原理我就不做過多解釋了，大家瞭解一下就行，面試的話基本不會考完這個深度了，感興趣可以自己深入研究一波。

總結

多重揹包在面試中基本不會出現，力扣上也沒有對應的題目，大家對多重揹包的掌握程度知道它是一種01揹包，並能在01揹包的基礎上寫出對應程式碼就可以了。

至於揹包九講裡面還有混合揹包，二維費用揹包，分組揹包等等這些，大家感興趣可以自己去學習學習，這裡也不做介紹了，面試也不會考。

我是程式設計師Carl，可以找我組隊刷題，也可以在B站上找到我，關注公眾號程式碼隨想錄來和上萬錄友一起打卡學習演算法，來看看，你會發現相見恨晚！

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