LeetCode-劍指offer-14-II-剪繩子（大數取餘、動態規劃、迴圈取餘、快速冪）

阿新 • • 發佈：2021-02-08

技術標籤：LeetCode 劍指offer刷題記錄資料結構與演算法動態規劃大數取餘迴圈取餘快速冪

題目要求

原題連結：劍指 Offer 14- II. 剪繩子 II | 343. 整數拆分

給你一根長度為 n 的繩子，請把繩子剪成整數長度的 m 段（m、n都是整數，n>1並且m>1），每段繩子的長度記為 k[0],k[1]…k[m - 1] 。請問 k[0]*k[1]*...*k[m - 1] 可能的最大乘積是多少？例如，當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別為2、3、3的三段，此時得到的最大乘積是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如計算初始結果為：1000000008，請返回 1。

示例 1：

輸入: 2
輸出: 1
解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

輸入: 10
輸出: 36
解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 1000

解題過程

該題需要在LeetCode-劍指offer-14-I-剪繩子（記憶化遞迴、動態規劃、數學推導）的基礎之上，繼續進行操作！

唯一的不同之處在於，本題涉及 “大數越界的求餘問題” 。

大數越界： 剪繩子問題（不考慮取餘）最終的結果是以 3 a 3^a 3a指數級別增長，可能超出 int32 甚至 int64 的取值範圍，導致返回值錯誤。

動態規劃：大數取餘 | 時間複雜度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) | 空間複雜度： O ( n ) O(n) O(n) | 不推薦

經典擊敗5%，同樣遞迴方法也可以用下列的方法，但是開銷也會很大！

import java.math.BigInteger;
class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        BigInteger[] dp = new BigInteger[n + 1];
         Arrays.fill(dp, BigInteger.valueOf(1));
        // dp[1] = BigInteger.valueOf(1); 

        for(int i = 3; i < n + 1; i++){
            for(int j = 1; j < i; j++){
                dp[i] = dp[i].max(BigInteger.valueOf(j * (i - j))).max(dp[i - j].multiply(BigInteger.valueOf(j)));
            }
        }
        return dp[n].mod(BigInteger.valueOf(1000000007)).intValue();
    }
}

迴圈取餘 | 時間複雜度： O ( n ) O(n) O(n) | 空間複雜度： O ( 1 ) O(1) O(1) | 推薦

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n < 4){
            return n - 1;
        }else if(n == 4){
            return n;
        }
        long res = 1;
        while(n > 4){
            res *= 3;
            res %= 1000000007;
            n -= 3;
        }
        // 最終剩下來的肯定是2,3,4
        return (int) (res * n % 1000000007);
    }
}

快速冪解法（最優解） | 時間複雜度： O ( l o g n ) O(logn) O(logn) | 空間複雜度： O ( 1 ) O(1) O(1) | 推薦

快速冪部分見我先前的部落格記錄: LeetCode-劍指offer-16-數值的整數次方

快速冪是在迴圈取餘的基礎上，進一步降低時間複雜度，因此效率也是很直觀的有了提升！

class Solution {
    int mod = 1000000007;
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n < 4) return n - 1;
        int a = n / 3;
        int b = n % 3;
        if(b == 0) return (int) (myPow(3, a) % mod);
        else if(b == 1) return (int) (myPow(3, a - 1) * 4 % mod);
        else return (int) (myPow(3, a) * 2 % mod);
    }

    public long myPow(long base, int num){
        long res = 1;
        while(num > 0){
            if((num & 1) == 1){
                res *= base;
                res %= mod;
            }
            base *= base;
            base %= mod;
            num >>= 1;
        }
        return res;
    }
}