python中的整數除操作符、減操作符、乘操作符_從“位運算”炫技到“操作符”，再到逐步理解“群論”...
由位運算到操作符，再到逐步理解群論
Step by Step for Understanding from Bitwise to Operators, then Group Theory
是否曾經會有過很努力，還是看不懂別人程式碼的苦惱？
有時是演算法思路堵塞，有時是作者“故意”用了一些奇形怪狀的位運算來炫技！
比如交換兩個變數，不借助第三者的異或運算^；判斷奇偶數用 &運算；置位用左移<>運算等等。
這些程式碼常見於嵌入式程式設計(考慮效率)，或程式設計比醜大賽(Hacker)之中。
為什麼一般看不懂呢？
因為通常我們腦中並沒有很好理解它的意義，而習慣上加、減、乘、除("+-*/")的意義好像都已印入腦中！
但仔細一想，這些"&,|,^,<>,~,"與“加減乘除”其實都一樣，沒什麼區別的，它們都是操作符(Operator) 啊！
操作符繫結兩個數，再安一些規則在其中，就形成了群!
聽不懂？，那麼倒要真的問一下自己，是否真的懂了加減乘除啦？(據說博士畢業之前最好都要搞懂)
下面將舉一些具體的位操作運算例子，以輔助大家對各操作符意義的理解。
然後結合加減乘除上升到操作符的抽象！
最後再到群論的入門介紹
希望大家領略了群論的風景之後，再回來看自己曾經學過的各個計算機語言(C，C++,C#,Java,Python,Javascript...雖然很多我都不熟?)，會有too simple, too young的感慨?～
位操作介紹
位操作主要有與、或、非和異或，下面將介紹各種位操作的基本用法。
與
0 & 1 = 0
1 & 0 = 0
0 & 0 = 0
1 & 1 = 1
或
0 | 1 = 1
1 | 0 = 1
0 | 0 = 0
1 | 1 = 1
非
！0 = 1
！1 = 0
異或
1 ^ 0 = 1
0 ^ 1 = 1
0 ^ 0 = 0
1 ^ 1 = 0
位操作符兩邊的數a和b只有兩個數0和1，加減乘除兩邊的運算元a和b可以是所有實數(除法b不能為0)，這是它們的最大區別，再無其它！
要把運算對映到人可以理解的意義，第一步要把二進位制數映到實數(整數)，再結合效果map到人習慣理解的意義！
1.判斷一個數的奇偶性(不用％2操作)
n=3
#ifniseven,willbetrue,elsefalse
deff(n):
returnn&1==0
f(n)
False
f(4)
True
2.判斷一個數是否為2的整數冪
deff(n):
returnn&(n-1)==0
f(4)
True
3.不用臨時變數交換兩個數
defswap(a,b):
a^=b
b^=a
a^=b
returna,b
x,y=3,4
swap(x,y)
(4, 3)
4.找到陣列中出現奇數次的元素：
一個非空陣列，只有一個元素出現奇數次，其餘出現偶數次，找出那個元素:
arr=[1,2,1,2,4,3,3]
res=0
foriinarr:
res^=i
res
#任何一個數字異或它自己都等於0。也就是說，如果我們從頭到尾依次異或陣列中的每一個數字，
#那麼最終的結果剛好是那個只出現奇數次的數字，因為那些出現偶數次的數字全部在異或中抵消掉了。
4
5.求兩個整數的平均值(結果有小數點時拋棄小數點)
deff(a,b):
return(a+b)>>1
f(5,6)
5
6.取兩個數的最大值(某些機器上，效率比a>b ? a:b高)
deff(a,b):
returnb&((a-b)>>31)|a&(~(a-b)>>31)
f(8,22)
22
7.取兩個數的最小值(某些機器上，效率比a>b ? b:a高)
deff(a,b):
returna&((a-b)>>31)|b&(~(a-b)>>31)
f(3,4)
3
8.判斷兩個數符號是否相同(0算正號)
deff(x,y):
return(x^y)>=0
f(3,4)
True
9.計算2的n次方
deff(n):
return2<-1)
f(3)
8
10.從低位到高位，取某數的第m位
deff(n,m):
return(n>>(m-1))&1
f(8,4)
1
11.從低位到高位，將某數的第m位置1
deff(n,m):
returnn|(1<-1))
f(8,2)
10
12.取相反數 (注意～是單目運算子)
deff(n):
return~n+1
f(-5)
5
13.判斷兩個數是否相等
deff(x1,x2):
return(x1^x2)==0
f(3,4)
False
14.對n加1，＋＋
deff(n):
return-~n
f(3)
4
15.對n減1，－－
deff(n):
return~-n
f(4)
3
16.取絕對值
deff(n):
return(n^(n>>31))-(n>>31)
f(-9)
9
我們總結一下：
任何數和 0 進行 OR 都為自身：x | 0 = x。
任何數和 -1 進行 OR 都為 -1：x | -1 = -1。
任何數和 0 進行 XOR 都為自身：x ^ 0 = x。
任何數和 -1 進行 XOR 都為 ~x：x ^ -1 = ~x。
任何數和其自身進行 XOR 都為0：x ^ x = 0。
對任何數 x 進行 NOT 操作的結果為 -(x + 1)，~x = -(x+1)。
<
在位數沒溢位的情況下，左移一位，可視為乘2操作，左移n位相當於乘以2的n次方
- >>(有符號右移)該運算元會將第一個運算元向右移動指定的位數。向右被移出的位被丟棄，左側用0補充，最左側符號位用原符號位填充。
在位數沒溢位的情況下，右移一位，可視為除2操作，右移n位相當於除以2的n次方
所有符號都只是一個代表某種意義的操作符，而已！它和“加減乘除”是完全一樣的！
進而我們是不是可以把這種操作符進一步抽象？把它和集合中的元素繫結在一起就形成了群論！
群(group)的基本定義：
群是一個集合G 加上一個操作符運算"#"，它結合任何兩個元素a和b而形成另一個元素，記為a#b。
要成為群，這個集合和操作運算(G,#)必須滿足叫做群公理(group axioms)的四個要求：
- (1)封閉性(closure)：對於所有G中a,b，運算a＃b的結果也在G中。
- (2)結合性(Associativity)：對於所有G中的a,b和c，等式 (a#b)#c=a#(b#c)成立。
- (3)單位元(Identity element)：G中存在一個元素e，對於所有G中的元素a，等式 e#a = a#e = a 成立。
- (4)逆元(Inverse element)：對於每個G中的a，存在G中的一個元素b使得 a#b=b#a=e。
注意：
- (1)"#"可以是帶有任何有意義的操作符，有一些不一定滿足交換律，即a#b!=b#a，比如矩陣運算。
- (2)單位元和逆元是唯一的。
- (3)然後群還有 阿貝爾群，迴圈群，半群，么半群，子群，群同態，群同構，陪集，商群等概念，數學家總結的一些定理精彩致極！
- (4)你可能會感受到到5次方程的根無解問題原來如此簡單
- (5)你可能會看費馬小定理變得如此顯然，不就是1＋1＝2一樣自然的嗎？
希望各位鑑賞完後，再來看前面的位運算操作炫技，是否是雕蟲小技??......
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