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Leetcode 447：Number of Boomerangs

You are given n points in the plane that are all distinct, where points[i] = [xi, yi]. A boomerang is a tuple of points (i, j, k) such that the distance between i and j equals the distance between i and k (the order of the tuple matters).

Return the number of boomerangs.

說人話：

給定平面上 n 對互不相同的點 points ，其中 points[i] = [xi, yi] 。迴旋鏢是由點 (i, j, k) 表示的元組 ，其中 i 和 j 之間的距離和 i 和 k 之間的距離相等（需要考慮元組的順序）。

返回平面上所有迴旋鏢的數量。

幾個要點：

• 點是不同的點
• 點 i 是樞紐
• 返回的是迴旋鏢的數量，不是具體的迴旋鏢
• n == points.length
• 1 <= n <= 500：說明我們可以接受 O(n²) 級別的演算法
• points[i].length == 2
• -10⁴ <= xi, yi <= 10⁴
  ，所以算距離的時候不會出現溢位

示例：

[法1] 暴力法

思路

• 遍歷所有點的情況
• 三層迴圈，找到符合條件的元組
• 記錄元組個數

程式碼

class Solution {
    public int numberOfBoomerangs(int[][] points) {

        int result = 0;

        //三層遍歷
        for(int a=0;a<points.length;a++){
            for(int b=0;b<points.length;b++){
                for(int c=0;c<points.
 
length;c++){
                    //A.B.C為三個不同的點
                    if( a!=b && a!=c && b!=c){
                        //A.B的距離
                        int distanceAB = 
                          (points[a][0]-points[b][0])*(points[a][0]-points[b][0])+ 
                          (points[a][1]-points[b][1])*(points[a][1]-points[b][1]);
                        //A.C的距離
                        int distanceAC = 
                          (points[a][0]-points[c][0])*(points[a][0]-points[c][0])+ 
                          (points[a][1]-points[c][1])*(points[a][1]-points[c][1]);
                        //距離相等則累加
                        if( distanceAB == distanceAC){
                            result++;
                        }
                    }

                }
            }
        }
        return result;
    }
}

提交結果

程式碼分析

• 時間複雜度：O(n³)
• 空間複雜度：O(1)

改進思路

因為 N 的級別為 500，所以我們可以接受 n² 的複雜度， n³ 就太大了。我們需要想辦法將時間複雜度降為 O(n²) 甚至更低。

[法2] 查詢表靈活選擇鍵值

思路

我們可以發現題目中 點 i 其實是一個樞紐，那麼我們就可以對於每個 點 i，遍歷其他剩餘點到 點 i 的距離，然後看看相同距離的點有多少個，對這些相同距離的點進行排列組合 A_n²，就可以了。

整體思路如下：

• 遍歷所有點 i
• 對每一個點 i 記錄其他所有點與點 i 的距離，並記錄相同距離的點的個數
• 對這些相同距離的點進行排列組合 A_n²
• 累計所有的點 i 得到迴旋鏢的個數

程式碼

class Solution {
    public int numberOfBoomerangs(int[][] points) {

        int result = 0;

        //遍歷每一個點 i
        for(int i=0;i<points.length;i++){

            Map<Integer,Integer> map = new HashMap<>();

            //以 i 作為樞紐
            for(int j=0;j<points.length;j++){
                //記錄其他點到點 i 的距離
                if( i!=j ){
                    //距離的平方
                    int distance = 
                    (points[i][0]-points[j][0])*(points[i][0]-points[j][0]) + 
                    (points[i][1]-points[j][1])*(points[i][1]-points[j][1]);

                    //統計相同記錄的點的個數
                    Integer count = map.get(distance);
                    if(count !=null && count>0){
                        count++;
                        map.put(distance,count);
                    }else{
                        map.put(distance,1);
                    }
                }
            }

            //對這些相同距離的點進行排列組合
            Set<Integer> keys = map.keySet();
            for(Integer key: keys){
                Integer count = map.get(key);
                if(count != null && count >= 2){
                    result += (count)*(count-1);
                }
            }
        }
        return result;
    }
}

提交結果

程式碼分析

• 時間複雜度：O(n²)。
• 空間複雜度：因為對於每一個點 i 操作完成後都會釋放 map，然後再申請，所以自始至終都只需要 O(n) 的輔助空間。

陷阱

本題中保證點的座標在 [-10000,10000] 的範圍內，所以算距離的時候不會發生整數溢位。如果沒有這個條件的話，最好算距離的時候轉為 long 或者 decimal 來進行計算，避免整數溢位。