0. 注

1. 本題解的所有圖片和註明內容都可以在 配套檔案 之中獲得。
2. 所有程式碼精簡，略去了不重要的部分。
3. 部分題目等待更新。

T1.小球

Problem

Solution

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Code

...

T2.金幣二

Problem

Solution

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Code

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T3.繩子

Problem

Solution

觀察題面，是一道明顯的幾何題。最簡單的思想就是模擬，直接去一段一段地求，可這樣難免碼量過大，考慮有沒有簡便方法。

從樣例入手，可畫出圖如下 :

（注 : 配套檔案中既有圖示，也有原使用 GeoGebra 製作的 .ggb 檔案）
我們需要用一根繩子把它繞起來，無非就是找一個能覆蓋住它的最小周長的多邊形。
顯然，在四角，最佳方案就是沿著圓弧。
而在其餘部分，根據兩點之間線段最短，易得最短為連線，即圖中所示線段 EG,FJ,IK,HL。
那這個多邊形實質上就是一個圓角多邊形

Code

const double pi=3.1415926;
struct information{
	double x;
	double y;	
}a[110]; //結構體直接儲存每一個點的座標 (x,y) 
signed main(){
	int n;
	double r;
	read(n);scanf("%lf",&r);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf %lf",&a[i].x,&a[i].y);
	double c1=2*pi*r;	//周圍 4 段圓弧構成一個整圓的周長 
	double c2=sqrt((a[n].x-a[1].x)*(a[n].x-a[1].x)+(a[n].y-a[1].y)*(a[n].y-a[1].y)); 
	//預處理出 a[n] 與 a[1] 間距離，方便下方迴圈 
	for(int i=1;i<=n-1;i++) c2=c2+sqrt((a[i].x-a[i+1].x)*(a[i].x-a[i+1].x)+(a[i].y-a[i+1].y)*(a[i].y-a[i+1].y));
	//計算出除 a[n] 與 a[1] 間距離的周長 
	printf("%.2lf",c1+c2);
	return 0;
}
 

T4.比賽

Problem

Solution

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Code

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T5.中位數概率

Problem

Solution

顯然，這是一道數學題，最簡單的方法推公式
迴歸題目，任取 \(3\) 個數求中位數是 \(k\) 的概率是多少。
中位數是由 \(3\) 個數排序而來的，所以在這之中，一定會有 \(1\) 個 \(k\)，這是突破口。
另外兩個數取值也頗有講究，設 \(a,b\) 為任取的數，\(a<k,b>k\)
則只有以下幾種情況是合法的

• \(k\) \(k\) \(k\)
• \(a\) \(k\) \(k\)
• \(b\) \(k\) \(k\)
• \(a\) \(b\)
  \(k\)

注意: 這裡僅表示取數的情況，不包括排序，即暫時視作無順序的，來列舉所有情況
而考慮順序（顯然選數有先後順序），有 \(1+3+3+6=13\) 種情況，將這 \(13\) 種情況枚舉出來，把其概率用 \(n\) 和 \(k\) 表示，相加就會有最終的公式。
（樣例 1 與樣例 2 的取數情況不做展示，檔案中有，可自行檢視）
不難發現，在 \(n\) 個數中取到一個 \(a\) 和一個 \(b\) 的概率分別是 \(\dfrac{k-1}{n}\) 和 \(\dfrac{n-k}{n}\) ，於是我們有下面這一張表 :

• 取到 \(k\)
  • 取到比 \(k\) 大
    • 取到比 \(k\) 小 概率 \(\dfrac{(n-k)(k-1)}{n^3}\)
    • 取到 \(k\) 概率​ \(\dfrac{n-k}{n^3}\)
  • 取到比 \(k\) 小
    • 取到 \(k\) 概率 \(\dfrac{k-1}{n^3}\)
    • 取到比 \(k\) 大 概率 \(\dfrac{(n-k)(k-1)}{n^3}\)
  • 取到 \(k\)
    • 取到 \(k\) \(\dfrac{1}{n^3}\)
    • 取到比 \(k\) 大 概率 \(\dfrac{n-k}{n^3}\)
    • 取到比 \(k\) 小 概率 \(\dfrac{k-1}{n^3}\)
• 取到比 \(k\) 小
  • 取到 \(k\)
    • 取到 \(k\) 概率 \(\dfrac{k-1}{n^3}\)
    • 取到比 \(k\) 大 概率 \(\dfrac{(n-k)(k-1)}{n^3}\)
  • 取到比 \(k\) 大
    • 取到 \(k\) 概率 \(\dfrac{(n-k)(k-1)}{n^3}\)
• 取到比 \(k\) 大
  • 取到 \(k\)
    • 取到 \(k\) 概率 \(\dfrac{n-k}{n^3}\)
    • 取到比 \(k\) 小 概率 \(\dfrac{(n-k)(k-1)}{n^3}\)
  • 取到比 \(k\) 小
    • 取到 \(k\) 概率 \(\dfrac{(n-k)(k-1)}{n^3}\)

（注 : 可在檔案"T5 k取數分析.md"中獲得）

將所有概率相加，可得總概率為 \(6(n-k)(k-1)+3n-2\)（化簡不化簡均可），直接帶入求值即可。
注意 : 資料型別與範圍的選擇，double 可以達到 \(10^{15}\)，比同是 \(64\) 位的 long long 大很多

Code

signed main(){
	int n,k;
	read(n);read(k);
	double a=1.0*6*(n-k)*(k-1)+3*n-2;
	printf("%.10lf",a/n/n/n);
	return 0;
}

signed main(){
	int n,k;
	read(n);read(k);
	double a=1.0*6*n*k-6*k*k+6*k-3*n-2;
	printf("%.10lf",a/n/n/n);
	return 0;
}

T6.上臺階進階版

Problem

Solution

典型的一道斐波那契數列的拓展問題。
資料範圍很小，直接遞推即可。
令 \(f[i]\) 代表到底第 \(i\) 級臺階的方案數。
顯然有 \(f[i]=f[i-1]+f[i-2]+f[i-3]\ (i>3)\)
注意初始化 \(f[1],f[2],f[3]\) ，其餘遞推即可。

Code

int ff[30];
inline int f(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++) ff[i]=max(ff[i],ff[i-1]+ff[i-2]+ff[i-3]);
	return ff[n];
}
signed main(){
	int n;
	ff[1]=1;ff[2]=2;ff[3]=4;
	for(int i=1;;i++){
		read(n);
		if(n==0) return 0;
		printf("%d\n",f(n));
	}
	return 0;
}

（注 : 配套檔案中有 \(n\in(0,20)\) 的全部資料，可自行檢視。）