lab03： https://inst.eecs.berkeley.edu/~cs61a/sp21/lab/lab03/#topics

• Topics
  • Recursion
  • Tree Recursion
• Coding practice
  • Q3: Summation
  • Q4: Pascal's Triangle
  • Q5: Repeated, repeated

Topics

Recursion

遞迴函式是在其主體中直接或間接呼叫自身的函式。 遞迴函式具有三個重要組成部分：

• 基本案例，您嘗試解決的問題的最簡單形式。
• 遞迴情況，其中函式使用更簡單的引數呼叫自身作為計算的一部分。
• 使用遞迴呼叫來解決完整的問題。

通用技巧（機翻）：

• 要編寫遞迴函式，你必須在編寫完成之前假設該函式是全功能的； 這被稱為信仰的遞迴飛躍。
• 考慮如何使用更簡單版本的問題的解決方案來解決當前問題。 在遞迴函式中完成的工作量可能很少：記住要大膽地相信遞迴可以解決稍微小的問題，而不必擔心如何解決。
• 想想在最簡單的情況下答案是什麼。 這些將是你的基本情況 - 你遞迴呼叫的停止點。 確保考慮你缺少基本情況的可能性（這是遞迴解決方案失敗的常見方式）。
• 首先編寫一個迭代版本可能會有所幫助。
  

Tree Recursion

樹遞迴函式是一種遞迴函式，它對自身進行多次呼叫，從而產生一系列類似樹的呼叫。
（以斐波那契數列為例）
通常，當您想在一個步驟中探索多種可能性或選擇時，樹遞迴是有效的。 在這些型別的問題中，您對每個選擇或一組選擇進行遞迴呼叫。 這裡有些例子：

• 給定一份付費任務列表和有限的時間，您應該選擇哪些任務來最大化您的報酬？ 這實際上是揹包問題的一種變體，它側重於尋找不同物品的最佳組合。
• 假設您迷失在迷宮中並看到了幾條不同的路徑。 你如何找到出路？ 這是路徑查詢的一個示例，並且是樹遞迴的，因為在每一步，您都可以有多個方向可供選擇，從而可以走出迷宮。
• 您的烘乾機每個週期收費 2 美元，可以接受所有型別的硬幣。 您可以建立多少種不同的硬幣組合來執行烘乾機？ 這類似於教科書中的分割槽問題。
  

Coding practice

Q3: Summation

def summation(n, term):
    """Return the sum of numbers 1 through n (including n) wíth term applied to each number.
    Implement using recursion!

    >>> summation(5, lambda x: x * x * x) # 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3
    225
    >>> summation(9, lambda x: x + 1) # 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
    54
    >>> summation(5, lambda x: 2**x) # 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5
    62
    >>> # Do not use while/for loops!
    >>> from construct_check import check
    >>> # ban iteration
    >>> check(HW_SOURCE_FILE, 'summation',
    ...       ['While', 'For'])
    True
    """
    assert n >= 1
    "*** YOUR CODE HERE ***"
    if n == 1:
        return term(1)
    else:
        return summation(n - 1, term) + term(n)
 

Q4: Pascal's Triangle

def pascal(row, column):
    """Returns the value of the item in Pascal's Triangle 
    whose position is specified by row and column.
    >>> pascal(0, 0)
    1
    >>> pascal(0, 5)	# Empty entry; outside of Pascal's Triangle
    0
    >>> pascal(3, 2)	# Row 3 (1 3 3 1), Column 2
    3
    >>> pascal(4, 2)     # Row 4 (1 4 6 4 1), Column 2
    6
    """
    "*** YOUR CODE HERE ***"
    if column == 0 or row == column:
        return 1 
    elif row < column:
        return 0
    else:
        return pascal(row - 1, column - 1) + pascal(row - 1, column)

Q5: Repeated, repeated

def repeated(f, n):
    """Returns a function that takes in an integer and computes 
    the nth application of f on that integer.
    Implement using recursion!

    >>> add_three = repeated(lambda x: x + 1, 3)
    >>> add_three(5)
    8
    >>> square = lambda x: x ** 2
    >>> repeated(square, 2)(5) # square(square(5))
    625
    >>> repeated(square, 4)(5) # square(square(square(square(5))))
    152587890625
    >>> repeated(square, 0)(5)
    5
    >>> from construct_check import check
    >>> # ban iteration
    >>> check(HW_SOURCE_FILE, 'repeated',
    ...       ['For', 'While'])
    True
    """
    "*** YOUR CODE HERE ***"
    if n == 0:
        return lambda x: x 
    elif n == 1:
        return f
    else:
        return compose1(f, repeated(f, n - 1))