「CQOI2015」選數
阿新 • • 發佈：2021-06-29
題目描述
我們知道，從區間 \([L,H]\)（\(L\) 和 \(H\) 為整數）中選取 \(N\) 個整數，總共有 \((H-L+1)^N\) 種方案。小 \(z\) 很好奇這樣選出的數的最大公約數的規律，他決定對每種方案選出的 \(N\) 個整數都求一次最大公約數，以便進一步研究。然而他很快發現工作量太大了，於是向你尋求幫助。你的任務很簡單，小 \(z\) 會告訴你一個整數 \(K\)，你需要回答他最大公約數剛好為 \(K\) 的選取方案有多少個。
由於方案數較大，你只需要輸出其除以 \(10^9+7\) 的餘數即可。
輸入格式
輸入一行，包含四個空格分開的正整數，依次為 \(N,K,L,H\)
輸出格式
輸出一個整數，為所求方案數除以 \(10^9+7\) 的餘數。
輸入輸出樣例
輸入
2 2 2 4
輸出
3
說明/提示
樣例解釋
所有可能的選擇方案：\((2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)\)。
其中最大公約數等於 \(2\) 的只有 \(3\) 組：\((2, 2), (2, 4), (4, 2)\)。
資料規模與約定
對於 \(100\%\) 的資料，\(1\le N,K\le 10^9\)，\(1\le L\le H\le 10^9\)，\(H-L\le 10^5\)。
題解
問題可以直接轉化為一個式子，然後進行化簡
前面的 \(\mu\)
程式碼
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <unordered_map>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
inline int addmod (register int a, register int b) {
return a += b, a >= mod ? a - mod : a;
}
inline int delmod (register int a, register int b) {
return a -= b, a < 0 ? a + mod : a;
}
inline ll mulmod (register ll a, register int b) {
return a *= b, a >= mod ? a % mod : a;
}
inline int qpow (register int a, register int b, register int ans = 1) {
for (; b; b >>= 1, a = mulmod (a, a))
if (b & 1) ans = mulmod (ans, a);
return ans;
}
int n, m, L, R, cnt;
int prime[3000005], mul[3000005], sum[3000005];
bool vis[3000005];
unordered_map <int, int> f;
inline void xxs () {
mul[1] = sum[1] = 1;
for (register int i = 2; i <= 3e6; i ++) {
if (! vis[i]) prime[++ cnt] = i, mul[i] = mod - 1;
for (register int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= 3e6; j ++) {
vis[i * prime[j]] = 1;
if (i % prime[j] == 0) break;
mul[i * prime[j]] = mod - mul[i];
}
sum[i] = addmod (sum[i - 1], mul[i]);
}
}
inline int F (register int n, register int ans = 1) {
if (n <= 3e6) return sum[n];
if (f[n]) return f[n];
for (register int l = 2, r; l <= n; l = r + 1)
r = n / (n / l), ans = delmod (ans, mulmod (r - l + 1, F (n / l)));
return f[n] = ans;
}
inline int Calc (register int n, register int m, register int k, register int ans = 0) {
for (register int l = 1, r; l <= m; l = r + 1)
r = n < l ? m / (m / l) : min (n / (n / l), m / (m / l)),
ans = addmod (ans, mulmod (delmod (F (r), F (l - 1)), qpow (delmod (m / l, n / l), k)));
return ans;
}
int main () {
scanf ("%d%d%d%d", &n, &m, &L, &R), L = (L - 1) / m, R = R / m, xxs ();
return printf ("%d\n", Calc (L, R, n)), 0;
}