P4774 [NOI2018] 屠龍勇士 - 數論、中國剩餘定理
阿新 • • 發佈：2021-06-30
題意
給出 \(n\) 個線性同餘方程構成的方程組 \(\begin{cases} a_1x\equiv b_1 \pmod{p_1} \\ a_2x\equiv b_2 \pmod{p_2} \\ \dots \\ a_nx\equiv b_n \pmod{p_n} \end{cases}\)
問其大於等於某個數的最小解，如果無解輸出 \(-1\)。
題解
首先考慮某個線性同餘方程 \(a_ix\equiv b_i \pmod{p_i}\) 怎麼解。它其實等價於不定方程 \(a_ix+p_iy=b_i\)，設其特解為 \(\begin{cases} x=x_0 \\ y=y_0 \end{cases}\)
然後套 exCRT 即可。注意 exCRT 過程中一定要多取模！！！
程式碼
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <set> #include <cassert> #include <algorithm> using namespace std; #define For(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti<=(Tb);++Ti) #define Dec(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti>=(Tb);--Ti) template<typename T> void Read(T &x){ x=0;int _f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) _f=(ch=='-'?-1:_f),ch=getchar(); while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar(); x=x*_f; } template<typename T,typename... Args> void Read(T &x,Args& ...others){ Read(x);Read(others...); } typedef long long ll; ll Mul(ll a,ll b,ll p){ a=(a%p+p)%p,b=(b%p+p)%p; ll res=0; while(b){ if(b&1) res=(res+a)%p; b>>=1,a=a*2%p; }return res; } ll Lcm(ll a,ll b){ if(!a||!b) return a^b; return a/__gcd(a,b)*b; } ll ExEuclid(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ if(!b){x=1,y=0;return a;} ll t,g=ExEuclid(b,a%b,t,y); x=y,y=t-a/b*y;return g; } bool SolveEq(ll a,ll b,ll c,ll &x){//ax=b(mod c) ll y,g=ExEuclid(a,c,x,y); if(b%g) return 0; x=Mul(x,b/g,c/g);return 1; } const int N=1e5+5; int T,n,m;ll a[N],p[N],rew[N],atk[N],sword[N]; int main(){ Read(T); while(T--){ Read(n,m); For(i,1,n) Read(a[i]); For(i,1,n) Read(p[i]); For(i,1,n) Read(rew[i]); For(i,1,m) Read(atk[i]); multiset<ll> sw(atk+1,atk+m+1); For(i,1,n){ auto it=sw.upper_bound(a[i]); if(it!=sw.begin()) --it; sword[i]=*it;sw.erase(it); sw.insert(rew[i]); } ll lc=1,x=0,mx=0,succ=1; For(i,1,n){ ll sol1; if(!SolveEq(sword[i],a[i],p[i],sol1)){ puts("-1");succ=0;break; } ll cur=sol1;p[i]/=__gcd(p[i],sword[i]); if(!SolveEq(lc,((cur-x)%p[i]+p[i])%p[i],p[i],sol1)){ puts("-1");succ=0;break; } // assert(lc*sol1+x==p[i]*sol2+cur); ll mod=Lcm(lc,p[i]); x=(Mul(lc,sol1,mod)+x+mod)%mod;lc=mod; mx=max(mx,(a[i]+sword[i]-1)/sword[i]); } if(succ){ ll k=(mx-x+lc-1)/lc; printf("%lld\n",x+k*lc); } } return 0; }