初等數論四大定理--中國剩餘定理
阿新 • • 發佈：2021-07-22
內容：給定如下面形式的一元線性同餘方程組
\[\begin{equation} \begin{cases} x &\equiv a_1(mod \ m_1) \\ x &\equiv a_2(mod \ m_2) \\ x &\equiv a_3(mod \ m_3) \\ &\vdots \quad \quad \quad \notag \\ x &\equiv a_k(mod \ m_k) \end{cases} \end{equation} \]中國剩餘定理就是用來求解這種方程組的
若\(m_i\)兩兩互質，則對任意整數:\(a_i\)
設M=$ \prod_{i=1}^k m_i$ \(\qquad\) \(M_i\)=\(\frac{\textbf{M}}{m_i} \quad M_i t_i \equiv 1(mod \ m_i)\)
所以，M為所有方程模的乘積，\(M_i\)為除了第i個方程外所有方程模的乘積，\(t_i為M_i\)的逆元。
通過構造法，我們可以得出解
如果是在模M的意義下，就只有一個解\(x=(\sum_{i=1}^k a_i t_i M_i) mod M\)
證明：
因為\(m_i\)兩兩互質，所以\(m_i \perp M_i\)
所以可以證明存在\(t_i\)。
\(a_i t_i M_i \equiv a_i \cdot 1 \equiv (mod \ m_i)\)