題解 CF1209G2 Into Blocks (hard version)
題意
一個序列是好的，當且僅當序列中相等的兩個數間所有數全相等。
你每次可將某個元素值對應的所有元素改成另一元素值。
現有 \(q\) 次操作，每次操作將第 \(x\) 個元素改為 \(y\)。
求初始時及每次操作後將這個序列改成好的序列最少要改的位置數。
題解
對於每一個序列中的元素 \(k\)，設其在序列中最左與最右的位置分別為 \(l_k,r_k\)，我們希望 \([l_k,r_k]\) 中的元素全部相等。
所以初始時，最優方案是把序列分成最多的好序列，答案為「每個好序列長度減去其中出現最多的元素的出現次數」的總和。
我們考慮一種更嚴謹的描述方式。
設 \(a_i\) 為第 \(i\) 個元素的元素值，\(b_i\)
那麼對於每一個序列中的元素 \(k\)，我們將 \(b\) 的 \([l_k,r_k)\) 區間加 \(1\)，不僅求出了 \(b\)，還發現每個 \(b\) 中連續的非零區間以及緊隨其後的 \(1\) 個 \(0\)，恰好對應一個最後要求的好序列。
我們可以用 set 維護元素位置，線段樹維護 \(b\)。
如果有修改呢？
我們繼承前面的思路，爭取線上段樹上多儲存一些資訊來回答每個詢問。
設 \(c_i\) 為第 \(i\) 個元素在序列中出現的次數，為了方便維護，我們只在該元素出現的第一個位置儲存 \(c\)，其他位置為 \(0\)
由此可知，在最優解的情況下，一個長度大於 \(1\) 的好序列，最後一位的 \(c\) 一定為 \(0\)，否則由 \(c\) 的定義就可將該好序列分成兩個好序列，矛盾。
因此，一個長度大於 \(1\) 的好序列內出現最多的元素的出現次數即為 \([l_k,r_k)\) 內 \(c\) 的最大值。
由於存在修改，此時我們不能只是簡單地維護每個 \(b\) 中「連續的非零區間以及緊隨其後的 \(1\) 個 \(0\)」。
我們將上面的 \(0\) 都替換為區間內最小值，即維護每個 \(b\) 中「連續的大於區間最小值的區間以及緊隨其後的 \(1\) 個最小值」，我們定義這樣的區間為「廣義好序列」。
記一個廣義好序列左側（不在序列裡）與右側（在序列裡）的最小值分別為該好序列的左右端點。
我們線上段樹上每個節點需要維護下列 \(6\) 個資訊。
\(laz\)：區間加法懶標記。
\(mnb\)：區間 \(b\) 的最小值。
\(mxc\)：區間 \(c\) 的最大值。
\(num\)：每個左右端點均在區間內的廣義好序列中「顏色出現最大次數」之和。
\(lmx\)：左端點所在廣義好序列中目前顏色出現次數的最大值。
\(rmx\)：右端點所在廣義好序列中目前顏色出現次數的最大值。
我們只需要維護插入和刪除兩種操作。
而這兩種操作的核心都為對 \(b\) 進行區間加操作，對 \(d\) 進行單點修改操作。
大體操作與普通線段樹無異，重點在於更新完兩個子節點後，如何合併更新當前點，我們一一考慮。
\(laz\)：下傳時已經變為 \(0\)，無需更新。
\(mnb\)：兩子節點 \(mnb\) 取 \(\min\)。
\(mxc\)：兩子節點 \(mxc\) 取 \(\max\)。
接下來就有點棘手了，我們考慮兩子節點 \(mnb\) 的大小關係。
記 \(lson\) 為左兒子，\(rson\) 為右兒子，當前節點為 \(x\)。
如果 \(lson.mnb\) 大於 \(rson.mnb\)，說明 \(lson.mnb\) 大於區間內最小值，亦即左區間內不可能有左右端點均在區間內的廣義好序列。
所以 \(x.num=rson.num\)，\(x.rmx=rson.rmx\)。
而此時左端點所在廣義好序列的右邊界在左區間的右側，因此當前點「左端點所在廣義好序列中目前顏色出現次數的最大值」為右兒子「左端點所在廣義好序列中目前顏色出現次數的最大值」和左兒子「區間 \(c\) 的最大值」的較大值。
故 \(x.lmx=\max(rson.lmx,lson.mxd)\)。
\(lson.mnb\) 小於 \(rson.mnb\) 的情況同理。
考慮 \(lson.mnb\) 等於 \(rson.mnb\) 時，此時左右區間內都有廣義好序列，且左區間最右側和右區間最左側可以拼成一個廣義好序列（或者為空）。
所以 \(x.num=lson.num+rson.num+\max(lson.rmx,rson.lmx)\)。
而 \(x.lmx=lson.lmx,x.rmx=ron.rmx\) 也很顯然了。
因此這樣做是正確且可行的，時間複雜度 \(O(n\log n)\)。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define Mx 200000
using namespace std;
int n,q;
int a[200002];
set<int> s[200002];
struct aaa
{
int laz,mnb,mxc,num,lmx,rmx;
}arr[800002];
inline int lson(int x)
{
return (x<<1);
}
inline int rson(int x)
{
return ((x<<1)|1);
}
inline void pushdown(int k)
{
int ls=lson(k),rs=rson(k);
arr[ls].mnb+=arr[k].laz,arr[rs].mnb+=arr[k].laz,arr[ls].laz+=arr[k].laz,arr[rs].laz+=arr[k].laz,arr[k].laz=0;
}
inline void pushup(int k)
{
int ls=lson(k),rs=rson(k);
arr[k].mnb=min(arr[ls].mnb,arr[rs].mnb),arr[k].mxc=max(arr[ls].mxc,arr[rs].mxc);
if(arr[ls].mnb<arr[rs].mnb)arr[k].num=arr[ls].num,arr[k].lmx=arr[ls].lmx,arr[k].rmx=max(arr[ls].rmx,arr[rs].mxc);
else if(arr[ls].mnb>arr[rs].mnb)arr[k].num=arr[rs].num,arr[k].lmx=max(arr[ls].mxc,arr[rs].lmx),arr[k].rmx=arr[rs].rmx;
else arr[k].num=arr[ls].num+arr[rs].num+max(arr[ls].rmx,arr[rs].lmx),arr[k].lmx=arr[ls].lmx,arr[k].rmx=arr[rs].rmx;
}
inline void modifyB(int k,int l,int r,int l1,int r1,int d)
{
if(l1>r1)return ;
if(l>=l1 && r<=r1){arr[k].mnb+=d,arr[k].laz+=d;return ;}
int mid=((l+r)>>1);pushdown(k);
if(r1<=mid)modifyB(lson(k),l,mid,l1,r1,d);
else if(l1>mid)modifyB(rson(k),mid+1,r,l1,r1,d);
else modifyB(lson(k),l,mid,l1,mid,d),modifyB(rson(k),mid+1,r,mid+1,r1,d);
pushup(k);
}
inline void modifyD(int k,int l,int r,int x,int d)
{
if(l==r){arr[k].mxc=arr[k].lmx=d;return ;}
int mid=((l+r)>>1);pushdown(k);
if(x<=mid)modifyD(lson(k),l,mid,x,d);
else modifyD(rson(k),mid+1,r,x,d);
pushup(k);
}
inline void ins(int x)
{
if(!s[a[x]].empty())modifyB(1,1,n,*s[a[x]].begin(),*s[a[x]].rbegin()-1,-1),modifyD(1,1,n,*s[a[x]].begin(),0);
s[a[x]].insert(x),modifyD(1,1,n,*s[a[x]].begin(),s[a[x]].size()),modifyB(1,1,n,*s[a[x]].begin(),*s[a[x]].rbegin()-1,1);
}
inline void del(int x)
{
modifyB(1,1,n,*s[a[x]].begin(),*s[a[x]].rbegin()-1,-1),modifyD(1,1,n,*s[a[x]].begin(),0),s[a[x]].erase(x);
if(!s[a[x]].empty())modifyD(1,1,n,*s[a[x]].begin(),s[a[x]].size()),modifyB(1,1,n,*s[a[x]].begin(),*s[a[x]].rbegin()-1,1);
}
inline void query()
{
printf("%d\n",n-arr[1].num-arr[1].lmx-arr[1].rmx);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&q);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]),ins(i);query();
for(int x,y,z;q--;)scanf("%d%d",&x,&y),z=a[x],del(x),a[x]=y,ins(x),query();
return 0;
}
細節
-
取 set 最後一個元素用 rbegin 而不是 end。
-
取 set 元素要注意 set 為空時特判。