題意

給定一個 \(n\times m\) 的棋盤，每次可以在上面放一對棋子 \((x,y)\)，\((x',y')\)，要求 \(|x-x'|+|y-y'|=3\)，問最多可以放多少個棋子。

題解

本題中的「一對棋子」本質上只有如下兩種擺放方式。

1. \(||x-x'|-|y-y'||=3\)。

2. \(||x-x'|-|y-y'||=1\)。

我們用這兩種擺放方式可以湊出如下四種完整的棋盤。

1. \(1\times6\)

2. \(2\times4\)

3. \(2\times5\)

4. \(3\times4\)

當 \(n\)，\(m\) 足夠小時，情況可能會有些特殊，我們先單獨考慮這些情況。

情況 1 ： \(n=1\) 或 \(m=1\)

不難發現只能使用第 \(1\) 種擺法。

每 \(6\) 個為一迴圈節，剩下 \(x\) 個格若多於 \(3\) 個又可以放 \(x-3\) 對。

所以答案為 \(\lfloor\dfrac{\max(n,m)}{6}\rfloor\times6+\max(0,\max(n,m)\mod6-3)\times2\)。

情況 2 ： \(n=2\) 或 \(m=2\)

不妨設 \(n=2\)。

此時，若 \(m=4a+5b+6c\) 有自然數解，則 \(2\times m\) 的棋盤可以用 \(a\) 個 \(2\times4\) 的棋盤，\(b\)

不難得出只有 \(m=2,3,7\) 時無解。

所以 \(n=m=2\) 時，答案為 \(0\)；\(n=2,m=3\) 或 \(m=2,n=3\) 時，答案為 \(4\)；\(n=2,m=7\) 或 \(m=2,n=7\) 時，答案為 \(12\)；否則答案為 \(n\times m\)。

情況 3 ： \(2|n,n\ge4,m\ge3\) 或 \(2|m,m\ge4,n\ge3\)

不妨 \(2|n\)，\(n=2k\)。

若 \(m\ne3,7\)，則可以由 \(k\)

若 \(m=7\)，則可以用 \(k\) 個 \(2\times5\) 的棋盤和 \(1\) 個 \(2\times2k\) 的棋盤拼成，答案為 \(n\times m\)。

若 \(m=3,2|k\)，設 \(k=2t\)，則 \(n=4t\)，可以用 \(t\) 個 \(3\times4\) 的棋盤拼成，答案為 \(n\times m\)。

若 \(m=3,2\nmid k\)，設 \(k=2t+1\)，則 \(n=4t+2\ge6\)，可以用 \((t-1)\) 個 \(3\times4\) 的棋盤和 \(3\) 個 \(1\times6\) 的棋盤拼成，答案為 \(n\times m\)。

所以這類情況答案均為 \(n\times m\)。

情況 4 ： \(2\nmid n,2\nmid m,n\ge3,m\ge3\)

不難發現答案一定不超過 \(n\times m-1\)，且藉助 \(1\times6\) 的棋盤可知一定情況下，\(n\times m\) 的棋盤與 \((n\mod6)\times(m\mod6)\) 的棋盤等價。

情況 4.1 ： \(n\mod6=3\) 或 \(m\mod6=3\)

不妨設 \(n\mod6=3\)，則這等價於 \(n=3,m\ge3\)。

對於任意大等於 \(3\) 的奇數 \(m\)，我們總可以按如下方法遞迴地構造出如下圖形。

\(m=3\)：

\(m=5\)：

\(m=7\)：

\(m=9\)：

對於最後一個圖形我們可以這樣擺放棋子：

此時總共放了 \(n\times m-1\) 個棋子，達到最優狀態，故答案為 \(n\times m-1\)。

情況 4.2 ： \(n\mod6=5\) 或 \(m\mod6=5\)

不妨設 \(n\mod6=5\)，則這等價於 \(n=5,m\ge3\)。

藉助 \(2\times5\) 的棋盤可知，這等價於 \(1\times5\) 的棋盤。

而 \(1\times5\) 的棋盤上最多可擺放 \(4\) 個棋子，此時總共放了 \(n\times m-1\) 個棋子，達到最優狀態，故答案為 \(n\times m-1\)。

情況 4.3 ： \(n\mod6=1\) 且 \(m\mod6=1\)

這等價於 \(n=m=1\)，此時總共放了 \(n\times m-1\) 個棋子，達到最優狀態，故答案為 \(n\times m-1\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,m,ans;
template<class T>void read(T &x)
{
	x=0;int f=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9')f|=(ch=='-'),ch=getchar();
	while(ch>='0' && ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	x=f? -x:x;return ;
}
inline LL max(LL a,LL b)
{
	return a>b? a:b;
}
int main()
{
	read(n),read(m);
	if(n==1 || m==1)return 0&printf("%lld",(max(n,m)/6)*6+max(0,(max(n,m)%6)-3)*2);
	if(n==2 && m==2)return 0&printf("0");
	if((!(n&1) && m>=3) || (!(m&1) && n>=3))return 0&printf("%lld",((n*m)/2-((n==2 && m==3) || (m==2 && n==3) || (n==2 && m==7) || (m==2 && n==7)))*2);
	if((n%6)==3 || (m%6)==3)return 0&printf("%lld",((n*m)/2)*2);
	if((n%6)==5 || (m%6)==5)return 0&printf("%lld",((n*m)/2)*2);
	return 0&printf("%lld",((n*m)/2)*2);
}