[CF1034E]Little C Loves 3 III(不交併卷積FWT講解）
題面
http://codeforces.com/contest/1034/problem/E
題解
前置知識
不交併卷積
是可以使用FWT進行優化的一種卷積形式。
\[c{[}k{]}=\sum\limits_{i|j = x,i{\&}j=0}a[i]b[j] \]解決方案：設\(A,B,C\)是三個多項式陣列，它們的每一項是一個多項式。其中\(A[i]=a[i] x^{pop{\_}cnt[i]}\)，\(B[i]=b[i]x^{pop{\_}cnt[i]}\)。（pop_cnt[i]是二進位制表示下i中1的個數），而C陣列是A與B進行或卷積後得到。舉個例子：
那麼就有
\[A[0]=0,A[1]=x,A[2]=2x,A[3]=3x^2 \]\[B[0]=3,B[1]=2x,B[2]=x,B[3]=0x^2 \]注意，這裡的x與生成函式中的作用相同，只是用來表示多項式形式的引數。
將\(A,B\)兩個多項式陣列進行或卷積後得到
\[C[0]=0,C[1]=3x+2x^2,C[2]=6x+2x^2,C[3]=14x^2+9x^3 \]然後我們對於每一個C[k]，把它中間\(x^{pop{\_}cnt[k]}\)前面的係數拿出來
\[c[0]=0,c[1]=3,c[2]=6,c[3]=14 \]就得到了不交併卷積的答案！
這一過程的原理是這樣的，如果\(i|j=k\)，那麼一定有\(pop{\_}cnt[i]+pop{\_}cnt[j]{\geq}pop{\_}cnt[k]\)，並且等號iff i&j=0。這很好理解，因為如果\(i{\&}j{\neq}0\)，那麼\(i{\&}j\)的每一位上的1都被重複計算了兩遍。
我們計算出來的C實際上是
\[C[k]=\sum\limits_{i|j=k}A[i]B[j] \]\[=\sum\limits_{i|j=k}a[i]b[j]x^{pop{\_}cnt[i]+pop{\_}cnt[j]} \]取出了\(x^{pop{\_}cnt[k]}\)
這樣的時間複雜度，假設a,b的長度是\(2^n\)，FWT時原本是兩個數相加減，現在變成了兩個長度\(O(n)\)的多項式相加。只有這裡有別，所以總時間複雜度是\(O(n^22^n)\)。
回原題
雖然本題求的就是不交併卷積，看上去像模板題，可是\(O(n^22^n)\)的複雜度竟然過不去！這是因為此題的特殊性——要求對4取模，導致可以重新優化掉一個n。
在前面的過程中，我們把x=4代入，仍以樣例2為例：
\[a[0]=0,a[1]=1,a[2]=2,a[3]=3 \]\[b[0]=3,b[1]=2,b[2]=1,b[3]=0 \]\[A[0]=0,A[1]=x=4,A[2]=2x=8,A[3]=3x^2=48 \]\[B[0]=3,B[1]=2x=8,B[2]=x=4,B[3]=0x^2=0 \]\[C[0]=0,C[1]=3x+2x^2=44,C[2]=6x+2x^2=56,C[3]=14x^2+9x^3=800 \]然後令\(c[k]=C[k] \div 4^{pop{\_}cnt[k]}\)，得到
\(c[0]=0,c[1]=3+2x=11,c[2]=6+2x=14,c[3]=14+9x=50\)
最後分別\(\mod 4\)，就可以得到答案{0,3,2,2}了。
由於我也保留了未代入前的式子，所以這麼做的原理不難理解，我們想要求出C[k]中的\(x^{pop{\_}cnt[k]}\)前的係數\(\mod 4\)的值，就直接把C[k]除以\(4^{pop{\_}cnt[k]}\)再直接\(\mod 4\)，次數更高的項仍然能被4整除，在mod的時候就不產生影響了。
這麼做，就可以不用構造多項式陣列，直接存x=4代入後的值
\[A[0]=0,A[1]=4,A[2]=8,A[3]=48 \]\[B[0]=3,B[1]=8,B[2]=4,B[3]=0 \]就可以了，FWT時還是兩個數相加減，複雜度相應地回到了\(O(n2^n)\)。
過程中，A,B進行或卷積得到的係數可能會很大，為了防止爆掉，採取一種措施——將所有的係數在\(\mod 4^{22}\)意義下進行。由於最終最多需要求係數\(\div 4^{21}\)以後對4取模的值，所以這樣仍能保證答案的正確。
程式碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ld long double
#define rg register
#define In inline
const ll N = 2097152;
const ll mod = 1ll << 44;
namespace ModCalc{
In void Inc(ll &x,ll y){
x += y;if(x >= mod)x -= mod;
}
In void Dec(ll &x,ll y){
x -= y;if(x < 0)x += mod;
}
In ll Add(ll x,ll y){
Inc(x,y);return x;
}
In ll Sub(ll x,ll y){
Dec(x,y);return x;
}
In void Adjust(ll &x){
x = (x % mod + mod) % mod;
}
In void Tms(ll &x,ll y){
x = (ll)x * y - (ll)((ld)x * y / mod) * mod;
Adjust(x);
}
In ll Mul(ll x,ll y){
Tms(x,y);return x;
}
};
using namespace ModCalc;
ll n,deg;
char s[N+5];
ll a[N+5],b[N+5];
In void calc(ll &x,ll &y,ll opt){
if(opt == 1)Inc(y,x);
else Dec(y,x);
}
In void FWT(ll a[],ll deg,ll opt){
for(rg int n = 2;n <= deg;n <<= 1){
int m = n >> 1;
for(rg int i = 0;i < deg;i += n)
for(rg int j = 0;j < m;j++)calc(a[i+j],a[i+j+m],opt);
}
}
ll popc[N+5];
int main(){
scanf("%lld",&n);
deg = 1ll << n;
for(rg int i = 1;i < deg;i++)popc[i] = popc[i>>1] + (i&1);
scanf("%s",s);
for(rg int i = 0;i < deg;i++)a[i] = Mul(s[i] - '0',1ll << (popc[i]<<1));
scanf("%s",s);
for(rg int i = 0;i < deg;i++)b[i] = Mul(s[i] - '0',1ll << (popc[i]<<1));
FWT(a,deg,1);
FWT(b,deg,1);
for(rg int i = 0;i < deg;i++)Tms(a[i],b[i]);
FWT(a,deg,-1);
for(rg int i = 0;i < deg;i++)a[i] >>= (popc[i] << 1),a[i] &= 3;
for(rg int i = 0;i < deg;i++)putchar(a[i] + '0');putchar('\n');
return 0;
}