P1099 [NOIP2007 提高組] 樹網的核 - 樹的直徑
阿新 • • 發佈：2021-07-07
題解
首先可以發現，如果原樹有多條直徑，那麼在任意一條直徑上求得的答案都是一樣的。
於是任選一條直徑 \(s\leftrightarrow t\)，令原樹以 \(s\) 為根，在這條直徑上列舉答案。
這時候實際上可以用 dfs 序+線段樹做到 \(O(n \log n)\)，但不夠優。
我們知道，樹的直徑有這樣一個性質：任選在直徑上的一個點 \(u\)，那麼滿足 \(\operatorname{LCA}(u,v)\in s\leftrightarrow \operatorname{fa}(u)\) 的所有點 \(v\)，\(\operatorname{dist}(u,v)\) 一定小於等於 \(\operatorname{dist}(u,s)\)
對所有在直徑上的 \(u\)，預處理 \(d_u\) 表示從 \(u\) 開始，不經過直徑上的其他點，得到的最長路徑。於是，當列舉的路徑是 \(u\leftrightarrow v\) 時，答案就是 \(\max\{\max\limits_{x\in u\leftrightarrow v} \{d_x\} ,\operatorname{dist}(s,u),\operatorname{dist}(v,t)\}\)，可以用單調佇列維護。
但，根據直徑的性質，\(\max\limits_{x\in u\leftrightarrow v} \{d_x\}=\max\limits_{x\in s\leftrightarrow t}\{d_x\}\)
這樣就可以做到 \(O(n)\) 了。
程式碼
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; #define For(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti<=(Tb);++Ti) #define Dec(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti>=(Tb);--Ti) template<typename T> void Read(T &x){ x=0;int _f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) _f=(ch=='-'?-1:_f),ch=getchar(); while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar(); x=x*_f; } template<typename T,typename... Args> void Read(T &x,Args& ...others){ Read(x);Read(others...); } typedef long long ll; const int N=5e5+5; int n,s;vector<pair<int,ll>> G[N]; ll dep[N]; int Diameter(int u,int fa){ int res=u; for(auto i:G[u]){ int v=i.first,x; if(v==fa) continue; dep[v]=dep[u]+i.second; if(dep[x=Diameter(v,u)]>dep[res]) res=x; } return res; } int fa[N]; void Dfs(int u){ for(auto i:G[u]){ if(i.first==fa[u]) continue; fa[i.first]=u,dep[i.first]=dep[u]+i.second; Dfs(i.first); } } int vis[N]; vector<int> pth;ll mxdep[N]; void Dfs1(int u,ll d){ mxdep[u]=d; for(auto i:G[u]){ int v=i.first; if(v==fa[u]||vis[v]) continue; Dfs1(v,d+i.second);mxdep[u]=max(mxdep[u],mxdep[v]); } } int main(){ Read(n,s); For(i,1,n-1){ int u,v,w;Read(u,v,w); G[u].push_back({v,w}),G[v].push_back({u,w}); } int st=Diameter(1,0),ed=Diameter(st,0); // printf("%d %d\n",st,ed); dep[st]=0;Dfs(st); // For(i,1,n) printf("%lld ",dep[i]);puts(""); for(int u=ed;u!=st;u=fa[u]){ pth.push_back(u),vis[u]=1; } pth.push_back(st),vis[st]=1; reverse(pth.begin(),pth.end()); for(int u:pth) Dfs1(u,0); // For(i,1,n) printf("%lld ",mxdep[i]);puts(""); ll mx=0; for(int u:pth) mx=max(mx,mxdep[u]); ll ans=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL,d1=0,d2=dep[ed]; for(int i=0,j=0;i<pth.size()&&j<pth.size();++i){ d1=dep[pth[i]]; while(j<pth.size()&&dep[pth[j]]-dep[pth[i]]<=s) d2=dep[ed]-dep[pth[j++]]; --j; // printf("%d %d %lld %lld\n",i,j,d1,d2); ans=min(ans,max({mx,d1,d2})); } printf("%lld\n",ans); return 0; }